Baccalauréat S Pondichéry mars

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Pondichéry 31 mars 2005 \ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats On considère la fonction f , définie sur [1 ; +∞[ par f (t)= e t t . 1. a. Justifier la continuité de f sur [1 ; +∞[. b. Montrer que f est croissante sur [1 ; +∞[. 2. Restitution organisée de connaissances On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni. Pour tout réel x0 de [1 ; +∞[, on note A (x0) l'aire du domaine délimité par la courbe représentant f dans un repère orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = x0. On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur [1 ; +∞[ est une primitive de f . a. Que vaut A (1) ? b. Soit x0 un réel quelconque de [1 ; +∞[ et h un réel strictement positif. Justifier l'encadrement suivant : f (x0)6 A (x0+h)?A (x0)h 6 f (x0+h). c. Lorsque x0 > 1, quel encadrement peut-on obtenir pour h < 0 et tel que x0+h> 1 ? d.

• point de cercle


• plans d'équations respectives


• vecteur ??n


• réelle positive


• equation cartésienne


• cercle de diamètre


• point d'affixe za


• points commun


• repère orthonormal direct

Sujets

• Équation cartésienne

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mars 2005
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSPondichéry31mars2005\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelafonction f,définiesur[1;?1[par
te
f(t)? .
t
1. a. Justifierlacontinuitéde f sur[1;?1[.
b. Montrerque f estcroissantesur[1;?1[.
2. Restitutionorganiséedeconnaissances
Onpourraraisonnerens’appuyantsurlegraphiquefourni.
Pour tout réel x de [1 ; ?1[, on noteA(x ) l’aire du domaine délimité par0 0
lacourbereprésentant f dansunrepèreorthogonal,l’axe desabscissesetles
droitesd’équations x?1etx?x .0
Onseproposededémontrerquelafonctionainsidéfiniesur[1;?1[estune
primitivede f.
a. QuevautA(1)?
b. Soit x un réel quelconque de [1 ; ?1[ et h un réel strictement positif.0
Justifierl’encadrementsuivant:
A(x ?h)?A(x )0 0
f(x )6 6 f(x ?h).0 0
h
c. Lorsque x ?1, quel encadrement peut-on obtenirpour h?0ettel que0
x ?h>1?0
d. En déduire la dérivabilité en x de la fonctionA ainsi que le nombre0
dérivéenx delafonctionA.0
e. Conclure.
5
4
3
e
2
1
0
x x ?h000 1 2
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
? ?!? !?
LeplancomplexePestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v .
On désigne par I le point d’affixe z ? 1, par A le point d’affixe z ? 1?2i, par B leI A
pointd’affixe?2?2ietpar(C)lecercledediamètre[AB].
Onferaunefigurequel’oncomplèteraaveclesdifférentsélémentsintervenantdans
l’exercice.Onprendrapourunitégraphique2cm.
1. DéterminerlecentreΩducercle(C)etcalculersonrayon.BaccalauréatS A.P.M.E.P.
3?9i
2. SoitDlepointd’affixez ? .D
4?2i
Écrirez sous formealgébrique puis démontrerque Dest unpoint ducercleD
(C).
3. Sur le cercle (C), on considère le point E, d’affixe z , tel qu’une mesure enE? ??! ?! ?
radiansde ΩI,ΩE est .
4
1
a. Préciserlemoduleetunargumentdez ? .E
2
p p
5 2?2 5 2
b. Endéduirequez ? ? i.E
4 4
4. Soitr l’application duplan Pdans lui-même qui àtout point M d’affixe z as-
0 0socielepointM d’affixez telque:
? ?
1 ? 10 i
4z ? ?e z? .
2 2
a. Déterminerlanatureder etseséléments caractéristiques.
b. SoitKlepointd’affixez ?2.K
Déterminerparlecalcull’imagedeKparr.Commentpeut-onretrouver
géométriquement cerésultat?
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
? ?!? !?
Leplancomplexeestrapportéaunrepèreorthonormaldirect O, u , v .Onconsi-
0dère l’application f qui au point M d’affixe z fait correspondre le point M d’affixe
0z telque:
3?4i 1?2i0z ? z? .
5 5
0 0 01. Onnote x etx , y et y lespartiesréellesetlespartiesimaginairesdez etz .
8
3x?4y?1> 0< x ?
5Démontrerque: 4x?3y?2> 0: y ?
5
2. a. Déterminerl’ensemble despointsinvariantspar f.
b. Quelleestlanaturedel’application f ?
03. Déterminerl’ensemble Ddespoints M d’affixez telsquez soitréel.
4. OnchercheàdéterminerlespointsdeDdontlescoordonnéessontentières.
2a. Donnerunesolutionparticulière(x , y )appartenantàZ del’équation0 0
4x?3y?2.
2b. Determinerl’ensemble dessolutions appartenantàZ del’équation
4x?3y?2.
5. On considère les points M d’affixe z?x?iy tels que x?1 et y2Z. Le point
0 0M ? f(M)apouraffixez .
0 0Déterminerlesentiers y telsqueRe(z )etlm(z )soiententiers(onpourrauti-
liserlescongruencesmodulo5).
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
? ?!? !? !?
L’espace E est rapporté à un repère orthonormal O, ı , | , k . On considère les
pointsA,BetCdecoordonnéesrespectives(1;0;2),(1;1;4)et(?1; 1; 1).
1. a. MontrerquelespointsA,BetCnesontpasalignés.
Pondichéry 2 31mars2005BaccalauréatS A.P.M.E.P.
!?
b. Soit n levecteurdecoordonnées(3; 4;?2).
!? ??! ??!
Vérifierquelevecteur n estorthogonalauxvecteursAB etAC.
Endéduireuneéquationcartésienneduplan(ABC).
2. SoientP etP lesplansd’équationsrespectives2x?y?2z?1?0et1 2
x?2y?6z?0.
a. Montrer que les plans P et P sont sécants selon une droite D dont on1 2
détermineraunsystèmed’équations paramétriques.
b. LadroiteDetleplan(ABC)sont-ilssécantsoubienparallèles?
3. Soitt unréelpositifquelconque.OnconsidèrelebarycentreG despointsA,B
etCaffectésdescoefficientsrespectifs1,2ett.
a. Justifierl’existence dupointG pourtoutréelpositif t.
SoitIlebarycentredespointsAetBaffectésdescoefficientsrespectifs1
et2.DéterminerlescoordonnéesdupointI.
?! ?!
ExprimerlevecteurIG enfonctionduvecteurIC.
b. Montrer que l’ensemble des points G lorsque t décrit l’ensemble des
nombresréelspositifs ounulsestlesegment[IC]privédupointC.
Pourquellevaleurdet,lemilieuJdusegment[IC]coïncide-t-ilavecG?
EXERCICE 4 6points
Communàtouslescandidats
10n
Pourtoutentiernatureln,onposeu ? .Ondéfinitainsiunesuite(u ) .n n n2Nn2
1. Prouver,pourtoutentiernatureln nonnul,l’équivalence suivante:
? ?101
u 60,95u sietseulement si 1? 61,9.n?1 n
n
2. Onconsidèrelafonction f définiesur[1;?1[par
? ?101
f(x)? 1? .
x
a. Étudierlesensdevariationetlalimiteen?1delafonction f.
b. Montrer qu’il existe dans l’intervalle [1 ; ?1[ un unique nombre réel ?
telque f(?)?1,9.
c. Déterminerl’entiernatureln telquen ?16?6n .0 0 0
d. Montrerque,pourtoutentiernatureln supérieurouégalà16,ona:
? ?101
1? 61,9.
n
3. a. Déterminerlesensdevariationdelasuite(u )àpartirdurang16.n
b. Quepeut-onendéduirepourlasuite?
4. Enutilisantunraisonnementparrécurrence,prouver,pourtoutentiernaturel
n supérieurouégalà16,l’encadrement:
n?1606u 60,95 u .n 16
Endéduirelalimitedelasuite(u ) .n n2N
Pondichéry 3 31mars2005