Baccalauréat S Sportifs de haut niveau octobre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau \ octobre 1998 EXERCICE 1 4 points Un joueur dispose d'une urne contenant 3 boules rouges, 4 boules blanches et n boules vertes (06 n6 10). Les boules sont indiscernables au toucher. 1. Le joueur tire au hasard une boule de l'urne. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : a. R : « la boule tirée est rouge » ; b. B : « la boule tirée est blanche » ; c. V : « la boule tirée est verte ». 2. Le joueur décide de jouer une partie. Celle-ci se déroule de la manière indi- quée ci-dessous. Le joueur tire une boule de l'urne • si elle est rouge, il gagne 16 F : • si elle est blanche, il perd 12 F ; • si elle est verte, il remet la boule dans l'urne, puis tire une boule de l'urne ; – si celle boule est rouge, il gagne 8 F ; – si cette boule est blanche, il perd 2 F ; – si cette boule est verte, il ne perd rien ni ne gagne rien. Les tirages sont équiprobables et deux tirages successifs sont indépendants. Au début de la partie, le joueur possède 12 F. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur la somme que le joueur possède à l'issue de la partie (un tirage ou deux tirages selon le cas).

• repère orthogonal


• négatif ?


• boule


• cosx?cosx sin2


• axe des abscisses


• positif ?


• joueur tire au hasard

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 octobre 1998
• Nombre de lectures: 886
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat SSportifs de hautniveau\ octobre 1998 E X E R C IC E points1 4 Un joueur dispose d’une urne contenant 3 boules rouges, 4 boules blanches etn boules vertes (0 6 n 6 10). Les boules sont indiscernables au toucher. 1.Le joueur tire au hasard une boule de l’urne. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : a.R : « la boule tirée est rouge » ; b.B : « la boule tirée est blanche » ; c.V : « la boule tirée est verte ». 2.Le joueur décide de jouer une partie. Celleci se déroule de la manière indi quée cidessous. Le joueur tire une boule de l’urne •si elle est rouge, il gagne 16 F : •si elle est blanche, il perd 12 F ; •si elle est verte, il remet la boule dans l’urne, puis tire uneboule de l’urne ; – sicelle boule est rouge, il gagne 8 F ; – sicette boule est blanche, il perd 2 F ; – sicette boule est verte, il ne perd rien ni ne gagne rien. Les tirages sont équiprobables et deux tirages successifs sont indépendants. Au début de la partie, le joueur possède 12 F. SoitXla variable aléatoire qui prend pour valeur la somme que le joueur possède à l’issue de la partie (un tirage ou deux tirages selon le cas). a.Déterminer les valeurs prises parX. b.Déterminer la loi de probabilité deX. n c.Montrer que l’espérance mathématique deXest 12+16 . 2 (n+7) x 3.On considère la fonctionfdéfinie sur l’intervalle [0 ; 10] parf(x)=. 2 (x+7) Étudier les variations def. 4.En déduire la valeur denpour laquelle l’espérance mathématiqueXest maxi male. Calculer celle valeur maximale (on donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible).

E X E R C IC E 2 Z Z π π 4 4 On considère les intégrales I=cosxdxet J=sinxdx. 0 0 1. a.Montrer que l’intégrale I peut s’écrire : Z π ¡ ¢ 2 I=cosxcosx−cosxsinxdx. 0 b.À l’aide d’une intégration par parties, montrer que Z π 1 2 I=sinxdx−J. 0 3 Z π 1 2 c.Montrer de même que J=cosxdx−I. 0 3 3π 2. a.Montrer que I + J=. 4

5 points

Baccalauréat S

b.Montrer que J−I=0 c.En déduire les intégrales I et J.

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 11 points Partie A : Étude d’une fonction Soithla fonction définie surRpar : ¡ ¢ x3x h(x)=3e−x−.4 e Il semblerait, d’après la représentation graphique dehtracée par ordinateur et don née ciaprès, que l’équationh(x)=0 admette une seule solution dansR. On se pro pose, dans cette partie, d’étudier la fonctionhet d’examiner si le tracé fourni par l’ordinateur donne une information fiable. 1.Déterminer la limite dehen−∞(on pourra poserX=3x). 2.Déterminer la limite dehen+∞; µ ¶ x4 x x (on observera que 3e−x−4=3− −e ). x x e e ′ ′x3x 3.On notehla dérivée deh. Montrer queh(x)=(12e−3x−13) e. 4.Étude d’une fonction auxiliaire. Soitkla fonction définie surRpar x k(x)=12e−3x−13. ′ ′ a.On notekla fonction dérivée de la fonctionk. Étudier le signe deksur R. b.Déterminer la limite deken+∞. c.Déterminer la limite deken−∞. d.Dresser le tableau de variations de la fonctionk. 5.Étude des variations de la fonctionh. a.Montrer qu’il existe un nombre réel négatifαet un seul tel quek(α)=0 et vérifier que−4, 3<α< −4, 2. On admet que l’on peut établir qu’il existe un nombre réel positifβet un seul tel quek(β)=0 et que 0,1<β<0, 2. b.En déduire le signe deksurRpuis le sens de variations de la fonctionh. ³ ´ −→−→ c.O,Le plan est rapporté à un repère orthogonalı,(unité graphique : 1 cm représente 0,1 sur l’axe des abscisses et 1 cm représente10 sur l’axe des ordonnées). Représenter graphiquement la fonctionhsur l’in tervalle [−5 ;−3, 9]. 6.Montrer que l’équationh(x)=0 admet une solution uniquebdans l’intervalle ]− ∞; 0[. −1 Donner un encadrement debà 10près.

Partie B : Approximation de l’une des solutions de l’équationh(x)=0 On admet qu’il existe un nombre réela; 1] tel queet un seul dans l’intervalle I = [0 h(a)=0. 1.Justifier que, dans l’intervalle I, l’équationh(x)=0 est équivalente à l’équation µ ¶ x+4 x 3e−x−4=0 puis à l’équationx=ln . 3 µ ¶ x+4 2.On considère la fonctionϕdéfinie sur l’intervalle I parϕ(x)=ln . 3 a.Montrer que, pour toutx∈I,ϕ(x)∈I.

Sportifs de hautniveau

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

1 ′ ¯ ¯ b.Montrer que, pour toutx∈I,ϕ(x) 6 . 4 c.Calculerϕ(a). dère la sud’éléments de I d 3.On consiite (u n ) n∈N éfinie pour toutn∈Npar u 0 =0 etu n+1 =ϕ ( u n ). 1 a.Montrer que, pour toutn∈N, | u n+1 −a | 6 | u n −a | . 4 µ ¶ n 1 b.Montrer que, pour toutn∈N, | u n −a | 6 . 4 c.En déduire que la suite (u) converge.Préciser sa limite. n n ∈N d.Déterminer un nombre entier naturelptel queu p soit une valeur appro −4 chée deaprès.à 10 −4 Donner une valeur approchée deu p à 10.

−5

y

1 −→ 

O −→ x −4−3−2−1 ı 1

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−1

−2

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