Bases d'algèbre et d'analyse 2006 Tronc Commun Université de Technologie de Belfort Montbéliard

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Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Bases d'algèbre et d'analyse 2006. Retrouvez le corrigé Bases d'algèbre et d'analyse 2006 sur Bankexam.fr.

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• 2006

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 janvier 2008
• Nombre de lectures: 30
• Langue: Français

Extrait

le 19 Janvier 2007 UTBM MT11

Final Automne 2006 Calculatricesinterdites.Leseuldocumentautoris´eestune feuille A4 recto-versore´dig´eea`lamain

Chaqueexercicedoitˆetrer´edig´esurunefeuille diffe´rente

Ilseratenucomptedanslacorrectiondelapr´esentationetdelar´edactioncorrectedes de´monstrations.

Exercice 1(Applications directes du cours) - 5 points Danscetexercice,aucunequestionnene´cessiteplusdequelqueslignespour eˆtrere´solue 1) Peut-on trouverfune fonction continue sur]a, b[telle quef(]a, b[) = [c, d](a, b, c, d∈ R) ?Si oui, donner un exemple, sinon, justifier. 2)Donnerl’ensembleded´efinitionetlad´eriv´eedelafonctionre´elle`aunevariable x+1 re´elled´efiniepasf(x) = arccos(e). 3)Peut-ontrouverunefonctionre´elled´efiniesurRruselbavire´d,Rd,eev´ri´eadtlon nesoitpasde´rivablesurR? Si oui, donner un exemple, sinon, justifier. 2 4)Peut-ontrouverunpolynoˆmededegre´3telqueD(X) =X−1soitP GCDde 0 P(X)etP(X)? Si oui, donner un exemple, sinon, justifier. 3 5)Quelleestlenombredesolutionsre´ellesdel’e´quationx+ 2x−1 = 0?

Exercice 2(5 points) Soitnunecnitnoe`eralofcoOnidnssipof.tietcitnemeitnrtsrf n urd´efiniesRpar ( f n 0(0) = 1 f n (xarctan() = 1 )pour x6= 0 x.sin( ) n ∗ 1)Pourn∈Ne´xfi, la fonctionf n est-elle continue? 2)Pourx∈R´xefi, calculer limf n (x). n→+∞ 3) On notefpalpcitaoidne´nfii’elsurRqui`axassocief(x) = lim n→+∞ f n (x). Est-elle continue surRerrp?aLnter´ese.

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Exercice 3(6 points) 1)D´ecomposeren´ele´mentssimples 2 . x(x+ 1)(x+ 2) P n 1 2)Ende´duirelasommeS n =(n∈N). p=1 p(p+1)(p+2) 3) Trouverlim n→∞ S n . 4)are´ne´Goitatsildn1e:)mentssimren´el´ecemoopesselp´D n! ∗ , n∈N, n≥3. x(x+ 1)(x+ 2)...(x+n)

5)te:ndan´epeindntsoiQeu´ecoDursslempsitsneme´le´neresopmR(X), la fraction rationnelle 2 X−X+ 1 F(X) =. 4 2 X+X Quelles sont les primitives deF(X)?

Exercice 4(5 points) Onconsid`erelafonctionr´eelled’unevariabler´eelle: f:R−→R 2 x x7→f(x) = x e−1−x

1)Quelestl’ensembleded´efinitiondefapregnolorpaL?.´eitnutionrc 2) Montrer que le prolongement deftbdle´eerievsan0. Donner la valeur de cette de´riv´ee. 3)Donnersonde´veloppementlimit´een0o’drer`al3.

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