Capesext deuxieme composition de mathematiques 2005 capes maths capes de mathematiques

Description

– 2 –Sauf exceptions dumˆ ent signal´ees, chaque partie peut ˆetre trait´eeind´ependamment des autres.Dans tout le probl`eme, on se place dans le cadre d’un plan euclidien Π rapport´e→− −→`a un rep`ere orthonorm´e direct (O, ı ,  ) par rapport auquel les coordonn´eessont not´ees x et y. La droite Δ est d´efinie par son ´equation x =a ou` a est uneconstante r´eelle strictement positive; elle coupe l’axe des abscisses au point A.La notation :X ={M ϕ(x,y) = 0}d´esigne la partie X du plan d´efinie comme l’ensemble des points M dont lescoordonn´ees (x,y) v´erifient l’´egalit´eϕ(x,y) = 0; cette relation est alors appel´eeune´equation deX. Une d´efinition analogue est pos´ee dans le cas de coordonn´ees→−polaires (ρ,θ) par rapport au rep`ere form´e du pointO et de la demi-droiteR ı .+1 Premi`ere partieSoitk une constante r´eelle strictement positive. On note Φ la courbe d´ecrite parle point M de coordonn´ees :x =a+kcost, y =atant+ksinti h i hπ π π 3πou`td´ecritlar´eunion − , ∪ , .OnnoteH laprojectionorthogonale2 2 2 2de M sur Δ et Ω le point de Δ d’ordonn´ee atant.1.1 Dans le cas particuliera = 1,k = 2,´etudier la courbe Φ (variations,´etudeasymptotique, points singuliers, repr´esentation graphique...); on pourra s’aiderd’une calculatrice graphique.1.2 Donner l’allure de Φ dans le cas g´en´eral, en distinguant :a) les cas ou` 0a.1.3 D´eterminer une fonction polynomiale f `a deux variables telle quef(x,y) = 0 ...

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• Publié par: aiolos
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• Langue: Français

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