CCP 1999 mathematiques 2 classe prepa pc

Description

PO06 SESSION 1999 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ÉPREUVE SP~CIFIQUE-FILIÈRE PC MATHÉMATIQUES 2 DURÉE : 4 heures Les calculatrices ne sont pas autorisées On désigne par le corps des réels. On désigne par C([O, 13) (resp. C“ ([O, l]), . . . Ck( [O, 11)’ . . . ) l’ensemble des applications continues (resp. de classe C’, . . . Ck, . . . ) à valeurs réelles définies sur [O, 11. On note : (. 1 a) , le produit scalaire habituel sur C([O, 11) , et ll.1)2 la norme associée, définis par : respectivement pour tout (f, g) E C([O, Soit a 2 O un réel donné. Pour chaque réel k on désigne par E(k) l’ensemble des fonctions u de classe C2([0, 11) qui vérifient : u” + ku = O aku(0) + u’(0) = O u(1) = O 1 Etude des solutions du problème (1) Dans les deux premières questions on ne cherchera pas à expliciter les solutions de (1). 1. On désigne par O la fonction nulle de C([O, 11). Soit k un réel. Etablir que €(k) est un sous-espace vectoriel de C2([0, 13) et que : €(O) = {O}. 2. Soit k un réel et soit u une fonction de €(k). (a) Soit f E c’[O, 13. Etablir que : (u’lf’) = k(u(f) + aku(O)f(O) + u’(l)f(l). (b) En déduire que : k(ulu) + aku2(0) = (u‘lu’), puis, que si €(k) # {O} alors k > O. (c) Soit Z un réel distinct de k et 21 une fonction de E(1). Montrer que : (u’I’u’) = O. 3. On suppose pour cette question que : a = O. Montrer que les réels k pour lesquels €(k) n’est pas réduit à {O} forment une suite croissante (kn)nEN, de réels strictement positifs que l’on ...

Informations

• Publié par: aiolos
• Nombre de lectures: 501
• Langue: Français

Extrait