MATHÉMATIQUES I Filière TSI
MATHÉMATIQUES I
Partie I -
On considère l’intégrale :
π
---
2 n
I = cos xdx n ∫
0
où n désigne un entier naturel.
I.A -
I.A.1) Déterminer une relation de récurrence entre I et I .n + 2 n
I.A.2) En déduire une expression de I et I à l’aide de factorielles.2n 2n + 1
I.B -
I.B.1) Montrer l’équivalence : I ∼ I .n n + 1
I.B.2) Montrer que la suite ()J avec J =()n + 1 I I est constante etn n n n + 1n ∈ IN
π
en déduire l’équivalence : I ∼ ------- .n 2n
I.B.3) Application 1
Montrer, lorsque t , réel, tend vers + ∞ , l’équivalence :
π
---
t π2()cosx dx ∼ ----- .∫ 2t0
I.B.4) Application 2
()n + 1 π xÀ l’aide de la série de terme général u = sinx dx , montrer que l’inté-n ∫
n π
+ ∞ xgrale impropre sinx dx est divergente.∫
1
1⎛⎞I.C - On pose, pour n ≥ 1 , u = n + ln nn–l–n ! et v = u – u .---n n n + 1 n⎝⎠2
I.C.1) Montrer l’équivalence :
1
v ∼ ------------ .n 2
12n
I.C.2) En déduire que la suite ()u est convergente. On notera S san n ∈ IN
limite.
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Filière TSI
I.D - Établir l’existence d’une constante C > 0 telle que :
1n + ---
2 –n
n! ∼ Cn e .
I.E - En utilisant la question I.B.2, en déduire l’équivalent de Stirling :
n –n
n!2∼ πn n e .
Partie II -
On considère les séries entières :
n
x 1 n⎛⎞------ et ln 1 + --- x .∑ ∑ ⎝⎠n n
n ≥ 1 n ≥ 1
II.A - Montrer que la première série entière définit une fonction continue sur
[–1,1 [ et calculer sa somme f .
II.B - On considère la seconde série entière.
II.B.1) Déterminer son rayon de convergence. On note g sa somme, là où elle
converge.
II.B.2) Montrer que cette série entière converge pour x = –1 et calculer g()–1 .
II.C - Déterminer la limite à gauche de g en 1 .
II.D -
II.D.1) Montrer l’existence d’une limite l à gauche en 1 de gx() + ln()1 – x .
II.D.2) On pose, pour n entier strictement positif,
1 1
w = 1++--- …+ --- – ln n .n 2 n
Montrer que la suite ()w est décroissante.n n ∈ IN
II.D.3) Montrer que ()w converge vers un réel γ strictement positif.n n ∈ IN
II.E - Établir que l = – γ .
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II.F - Une expression intégrale de γ .
1 1 1⎛⎞On pose I = --- + --------------------- dt .∫⎝⎠t ln()1 – t
0
II.F.1) Montrer l’existence de I .
+ ∞ 1 1 –x⎛⎞II.F.2) Montrer que I = ---------------- – --- e dx et que l’application∫⎝⎠–x x1 – e0
1 1
Φ : x a ---------------- – --- est bornée sur ]0+, ∞[ .
–x x1 – e
II.F.3) Montrer que pour tout n ≥ 1 , on a
–x –()n + 1 x + ∞ + ∞e – e –()n + 1 x1 1
I = 1++--- …+ --- – ------------------------------------dx + e Φ()x dx .∫ ∫x2 n 0 0
II.F.4) Montrer que pour n ≥ 1 et ε > 0 , on a
–x –()n + 1 x –x + ∞ ()n + 1 εe – e e ------------------------------------dx = ------- dx .∫ ∫x xε ε
II.F.5) Calculer l’intégrale
–x –()n + 1 x + ∞ e – e
------------------------------------dx .∫ x0
II.F.6) En déduire I = γ .
Partie III -
n nOn considère deux séries entières a x et b x . On fait les hypothèses∑ n ∑ n
n ≥ 0 n ≥ 0suivantes :
• La suite ()a est à termes positifs.n n ∈ IN
• La série a diverge.∑ n
n ≥ 0
n• a x a un rayon de convergence égal à 1 .∑ n
n ≥ 0
• b = oa()n n
On note uv et les sommes respectives de ces deux séries entières sur leur inter-
valle ouvert de convergence.
III.A -
n
III.A.1) Montrer que b x a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1 .∑ n
n ≥ 0
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III.A.2) On fixe un réel ε strictement positif.
Montrer qu’il existe un entier naturel Nx tel que pour tout tel que 0 ≤ x < 1 ,
N
ε
vx() ≤ b + ---ux() .∑ n 2
n = 0
III.A.3) En déduire qu’au voisinage de 1
vx() = ou()x .
III.B - Montrer que si l’on remplace l’hypothèse b = oa() par a ∼ b , alors aun n n n
voisinage de 1 on a l’équivalence : ux() ∼ vx() .
III.C - Application 1 :
III.C.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière
3 1 n⎛⎞n ln ch --- x .∑ ⎝⎠n
n ≥ 1
III.C.2) Déterminer un équivalent simple en 1 de sa somme.
III.D - Application 2 :
On considère les séries entières
n n
H x et ()ln n x , où l’on a posé pour n ≥ 1 ∑ n ∑
n ≥ 1 n ≥ 1
1 1
H = 1++ …+.--- ---n 2 n
III.D.1) Vérifier que leur rayon de convergence est 1 et montrer que
+ ∞
n
∀x ∈ ]–11, [ , .()1 – x H x = –ln()1 – x∑ n
n = 1
III.D.2) En déduire un équivalent au voisinage de 1 de
n
()ln n x .∑
n ≥ 1
On pourra utiliser II.D.3.
III.E - Application 3 :
On pose pour x ∈ ]–11, [ ,
π
--- 12
Jx()= -------------------------------- dt .∫ 2 20 1 – x cos t
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III.E.1) Développer en série entière, au voisinage de 0 , la fonction
1
x a . avec a > 0 et préciser son rayon de convergence.-------------------------
2 2
1 – a x
III.E.2) Montrer pour tout x ∈ ]–11, [ la relation
+ ∞
2n
Jx()= a I x , ∑ n 2n
n = 0
avec I les intégrales étudiées en partie I et ()a une suite que l’on expli-2n n n ∈ IN
citera.
III.E.3) Montrer qu’il existe une constante K réelle tel qu’au voisinage de 1 on
ait l’équivalence : Jx() ∼ K ln()1 – x et préciser la valeur de K .
Partie IV -
n nOn considère deux séries entières a x et b x . On fait les hypothèses∑ n ∑ n
n ≥ 0 n ≥ 0suivantes :
• La suite ()a est à termes positifs non tous nuls.n n ∈ IN
• A ∼ B , où l’on a posén n
n n
A = a et B = b∑ ∑n p n p
p = 0 p = 0
n• Le rayon de convergence de la série a x est égal à 1 et la série a∑ n ∑ n
n ≥ 0 n ≥ 0diverge.
On note uv et les sommes respectives de ces deux séries entières sur leur inter-
valle ouvert de convergence.
IV.A - Vérifier l’égalité, pour tout x réel
n n
p p n + 1
()1 – x A x = a x – A x .∑ ∑p p n
p = 0 p = 0
et en déduire que le rayon de convergence de
n
A x est égal à 1 .∑ n
n ≥ 0
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IV.B - Établir les relations, pour tout x ∈ ]–11, [
∞ ∞ ∞ ∞
1 1n n n n
A x = ------------ a x et B x = ------------ b x .∑ ∑ ∑ ∑n n n n1 – x 1 – x
n = 0 n = 0 n = 0 n = 0
puis en déduire qu’au voisinage de 1 , on a : ux() ∼vx() .
IV.C - Application 1 :
n
aOn considère la série entière x , où a est un entier supérieur ou égal à 2 .∑
n ≥ 0
Vérifier que son rayon de convergence est 11 et montrer qu’au voisinage de , on
∞
n
aa l’équivalence x ∼ L ln()1 – x , où L est une constante réelle que l’on préci-∑
n = 0
sera.
IV.D - Application 2 : ∞ ∞
2
n nIV.D.1) Montrer que les séries entières x et ()n + 1 – n x∑ ∑
n = 0 n = 0
sont de rayons de convergence 11 et que l’on a, au voisinage de ,l’équivalence :
∞ ∞
2
n n
x ∼()n + 1 – n x .∑ ∑
n = 0 n = 0
IV.D.2) En déduire que l’on a, au voisinage de 1 , l’équivalence :
∞ ∞
2
n 1 n
x ∼ ---------- I x , ∑ ∑ n
2 π
n = 0 n = 0
où ()I est la suite étudiée dans la première partie.n n ∈ IN
IV.D.3) Montrer que pour x ∈ ]–11, [ , on a l’égalité :
π∞ ---n dt2
I x = ----------------------- .∑ n ∫ 1 –xtcos0
n = 0
IV.D.4) Calculer l’intégrale ci-dessus et en déduire qu’au voisinage de 1 , on a
l’équivalence :
∞
2 Dn ----------------x ∼ ,∑
1 – x
n = 0
où D est une constante réelle strictement positive que l’on précisera.
••• FIN •••
Concours Centrale-Supélec 2004 6/6