CCSE 2004 informatique classe prepa mp

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INFORMATIQUE Filière MP INFORMATIQUE L’épreuve est constituée de deux parties indépendantes. Le candidat peut les trai- ter dans l’ordre de son choix à condition de respecter les numérotations. Partie I - Algorithmique On appelle graphe un ensemble fini de points du plan (nommés nœuds). Cer- tains de ces nœuds sont reliés par un arc orienté. Un graphe permet de repré- senter simplement une relation binaire définie sur un ensemble fini. I.A - Affectation de candidats à des postes Dans cette partie, on s’intéresse au problème de l’affectation de candidats à des postes ouverts par des écoles. Chaque candidat classe les écoles dans lesquelles il souhaite obtenir un poste par ordre de préférence strictement décroissante. Chaque école offre un nombre connu de postes, et classe tous les candidats qui postulent par ordre de préférence strictement décroissante. Les choix des candi- dats et des écoles peuvent être représentés par un graphe dans lequel chaque nœud représente une candidature : les nœuds du graphe sont sur une grille à deux dimensions, les candidats étant placés en abscisses et les écoles en ordonnées ; ainsi les arcs verticaux représentent la relation de préférence des candidats pour les écoles et les arcs horizontaux la relation de préférence des écoles pour les candidats. Ces relations sont des relations d’ordre : elle sont donc transitives. I.B - Notations On note 〈〉C , E la candidature du candidat C à un poste ouvert par l’école E .i j i jP la relation de préférence des candidats pour les écoles, et P la rela-c e tion de préférence des écoles pour les candidats. Ainsi P()〈〉C , E ,〈〉C , E , indi-c i j i k que que le candidat C préfère l’école E à l’école E , et PC , E ,〈〉C , Ei j k e j i k i indique que l’école E préfère le candidat C au candidat C . On note N lei j k i nombre de postes ouverts par l’école E .i Dans toute cette partie []1, n désigne l’ensemble {}1,,… n . Concours Centrale-Supélec 2004 1/5INFORMATIQUE Filière MP Filière MP I.C - Exemple Considérons le graphe ayant pour sommets : 〈〉C , E, , , , ,〈〉C , E 〈〉C , E 〈〉C , E 〈〉C , E1 2 1 3 2 1 2 2 2 3C , E, , , C , EC , EC , E3 2 3 3 4 1 4 2 pour arcs « verticaux » : P()〈〉C , E ,〈〉C , E ,c 1 3 1 2 PC , E ,C , E, ,P()〈〉C , E ,〈〉C , Ec 2 3 2 2 c 2 2 2 1 P〈〉C , E ,〈〉C , E ,c 3 2 3 3 PC , E ,C , Ec 4 1 4 2 et pour arcs « horizontaux » : P()〈〉C , E ,〈〉C , E ,e 2 1 4 1 PC , E ,C , E, , ,P()〈〉C , E ,〈〉C , E P()〈〉C , E ,〈〉C , Ee 4 2 3 2 e 3 2 1 2 e 1 2 2 2 P〈〉C , E ,〈〉C , E , PC , E ,C , Ee 1 3 2 3 e 2 3 3 3 avec, comme nombres de postes ouverts, N = 1 , N = 2 et N = 1 .1 2 3 Ce graphe peut être représenté comme suit : Ce graphe indique que le candidat C1 E1 postule pour les écoles E et E , et2 3 qu’il préfère E à E . De même, le3 2 E2 candidat C postule pour les 3 écoles2 et préfère E à E et E à E et donc,3 2 2 1 E3par transitivité, il préfère E à E .3 1 C C C C1 2 3 4Le candidat C postule pour E et3 2 E , dans cet ordre de préférence3 décroissante, et CE et E dans cet ordre. L’école E ouvre un4 1 2 1 seul poste, et elle préfère la candidature de C à celle de C . L’ école E ouvre 22 4 2 postes, elle préfère C à C , C à C et C à C ; par transitivité, elle préfère4 3 3 1 1 2 donc C à C , C à C et C à C . Enfin E n’ouvre qu’un poste et préfère C4 1 4 2 3 2 3 1 à C qu’elle préfère à C .2 3 Concours Centrale-Supélec 2004 2/5INFORMATIQUE Filière MP I.D - Affectations méritoires Une affectation A est un ensemble de nœuds tel que dans chaque colonne, au plus un nœud appartient à l’affectation (un candidat ne peut pas être affecté à plusieurs postes) et tel que sur chaque ligne, le nombre de nœuds appartenant à l’affectation est au plus égal au nombre de postes ouverts par l’école correspon- dante. Une affectation vérifie donc les propriétés suivantes : A1 ∀i, (〈〉C , E ∈ A et 〈〉C , E ∈ A ⇒ j = k)i j i k pq≠⎧ A2 ( ∀ j, ∃nN> ; ∀k ∈[]1, n , C , E ∈ A ) ⇒ ∃pq, ∈[]1, n , .⎨j i jk i = ip q⎩ Une affectation est dite « totale » si tous les postes ouverts sont attribués, ou si tous les candidats obtiennent un poste (le nombre de postes ouverts et le nombre de candidats ne sont pas forcément égaux). Une affectation A est dite « méritoire » si et seulement si pour tout nœud 〈〉C , E du graphe l’une des pro-i j positions suivantes est vraie : M1〈〉C , E ∈ Ai j M2 ∃C , E ∈ A,kj≠ et P()〈〉C , E ,〈〉C , Ei k c i k i j ⎧n ≠ ik⎪ ⎪ 〈〉C , E ∈ AM3 ∃n , …, n distincts, ∀k ∈[]1, N , ⎨ n j1 N j kj ⎪ ⎪P()C , E ,〈〉C , Ee n j i jk⎩ l’accolade dans M3 signifiant que les 3 propriétés sont vraies simultanément. I.D.1) Que signifie en langage courant la définition d’une affectation méritoire ? I.D.2) Une affectation méritoire est-elle nécessairement totale ? I.E - Nœuds inutiles pour les écoles Dans cette section on cherche un algorithme conduisant à une affectation méri- toire privilégiant les vœux des candidats en donnant à chaque candidat son choix préféré. On appelle « nœud inutile pour les écoles » tout nœud 〈〉C , E tel qu’il existei j N nœuds distincts 〈〉C , E …〈〉C , E , avec n ≠ i pour tout k , qui vérifientj n j n j k1 N j les deux propriétés suivantes : ∀k ∈[]1, N, (1)P()〈〉C , E ,C , E ⇒()pj=j c n p n jk k ∀k ∈1, N, (2)PC , E ,〈〉C , Ej e n j i jk Concours Centrale-Supélec 2004 3/5INFORMATIQUE Filière MP I.E.1) Montrer que les affectations méritoires d’un graphe sont exactement celles du graphe obtenu en supprimant les nœuds inutiles pour les écoles du graphe initial, à condition que, lors de la suppression des nœuds inutiles, on prenne garde de maintenir les chaînes des préférences concernant les noeuds restants. I.E.2) Déduire de la question précédente un algorithme pour trouver une affectation méritoire. I.E.3) Appliquer cet algorithme (pas à pas) au graphe donné en exemple. On va maintenant s’intéresser à l’affectation qui privilégie les vœux des écoles. I.F - Dualité candidat-école I.F.1) Donner la définition d’un « nœud inutile pour les candidats ». I.F.2) Montrer que les nœuds inutiles pour les candidats peuvent eux-aussi être supprimés du graphe sans que cela change les affectations méritoires. I.F.3) En déduire un algorithme pour obtenir l’affectation méritoire qui pri- vilégie le choix des écoles. I.F.4) Appliquer cet algorithme au graphe donné en exemple. I.G - Graphe réduit I.G.1) Donner un algorithme permettant de supprimer tous les nœuds inuti- les (aussi bien pour les écoles que pour les candidats) d’un graphe. I.G.2), et en déduire toutes les affectations méritoires de ce graphe. Partie II - Logique II.A - Exercice 1 Un nombre entier X (avec 0≤≤X 15), représenté sur 4 chiffres binaires x,,,x x x , est appliqué à l’entrée d’un circuit logique ( x est le chiffre de fort3 2 1 0 3 poids). Ce circuit a deux sorties s et s qui représentent la partie entière de la1 0 racine carrée de Xs ( est le chiffre de fort poids).1 II.A.1) En utilisant les connecteurs NOT, AND, et OR, donner une expression de s en fonction de x , x , x et x .1 3 2 1 0 II.A.2) En utilisant les mêmes connecteurs, donner une expression de s en0 fonction de , x ,x x et .x3 2 1 0 Concours Centrale-Supélec 2004 4/5INFORMATIQUE Filière MP II.B - Exercice 2 Soit une fonction booléenne fx(),,x …,x,…,x des n variables x , x,,… x .1 2 i n 1 2 n On appelle résidu de fx par rapport à (noté f ) la fonction des n – 1 variablesi xi x , …x,,… x ,x ,…,x qui correspond à une expression logique de f dans1 2 i – 1 i + 1 n laquelle on a remplacé x par 1 :i f : ()x , …x,,… x ,x ,…,x afx(),,x …,x ,1,x ,…,xx 1 2 i – 1 i + 1 n 1 2 i – 1 i + 1 ni De même, on appelle résidu de fx par rapport à (noté f la fonction : i xi f : x , …x,,… x ,x ,…,x a,,x …,x ,0,x ,…,x1 2 i – 1 i + 1 n 1 2 i – 1 i + 1 nxi II.B.1) Démontrer que =()∧ f ∨()x ∧ fi x ii xi II.B.2)=∨ f ∧x ∨ fi i xx ii On définit la dérivée booléenne par rapport à x d’une fonction booléenne i ∂f f : ()x,,x …,x,…,x afx(),,x …,x,…,x par : = f ⊕ f--------1 2 i n 1 2 i n xi x∂x ii où le symbole ⊕ désigne le ou exclusif (XOR). II.B.3) Démontrer que la valeur de fx est indépendante de la valeur de sii ∂f ∂f -------- = 0 et que la valeur de dépend de la valeur de si -------- = 1 .i∂x ∂xi i ∂f ∂fII.B.4) Démontrer que -------- = -------- . ∂x ∂xi i Soient fg et deux fonctions booléennes des n variables x,,x …,x :1 2 n II.B.5) Démontrer que : ∂()fg∧ ∂g ∂f ∂f ∂g⎛⎞⎛⎞⎛⎞= f ∧ ⊕⊕g ∧ ∧--------------------- -------- -------- -------- --------⎝⎠⎝⎠⎝⎠∂x ∂x ∂x ∂x ∂xi i i i i II.B.6) Démontrer que : ∂g ∂f ∂f ∂g∂()fg∨ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞--------------------- = f ∧ --------g ∧ -------- -------- ∧ --------⎝⎠⎝⎠⎝⎠∂x ∂x ∂x ∂x∂xi i i i i ••• FIN ••• Concours Centrale-Supélec 2004 5/5