Composition d'analyse et probabilités 2001 Agrégation de mathématiques Agrégation (Externe)

Description

Concours de la Fonction Publique Agrégation (Externe). Sujet de Composition d'analyse et probabilités 2001. Retrouvez le corrigé Composition d'analyse et probabilités 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2001

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 31 mars 2008
• Nombre de lectures: 64
• Langue: Français

Extrait

Prolegomenes

Dans tout le textenitiftpos,dsieeugnntnernierutatsletcirnemeRle corps n desnombresreelsetRl’espace vectoriel euclidien canonique de dimension n n.Rn.ecaaee’psrudestegaleOneuqinnemetnemonacstnectruuntm’uid choisit pour origine, noteeO, le vecteur nul de l’espace vectoriel. n On notehx, yile produit scalaire de deux vecteursxetydeRetkxkla norme euclidienne dex.

On noteGL n (R) le groupe des matrices carrees de dimensionninversibles et n on note det(Aeerramatricecnantdeladtereim)elA. SiEest une partie deR etAun matrice dansGL n (R), on noteA(E) l’image deEpar l’endomorphisme n deRcanoniquement associe aA.

n SiEest une partie deRpolaire de, on appelle gureEno,eetE, la partie n deRformee des pointsytels quehx, yiest inferieur a 1 pour toutxdansE: n E={y∈R|∀x∈E,hx, yi 1}.

n On rappelle qu’une partie deRest convexe si, pour tout couple (A, B) de n ses points, elle contient le segment [A, B]. Une fonctionfd’une partieEdeR a valeurs dansRest dite convexe siEest convexe et si 2 ∀(x, y)∈E ,∀∈[0,1], f(x+ (1)y)f(x) + (1)f(y) (i.e le graphe defOn dit queest sous ses cordes).fest strictement convexe sielleestconvexeetsil’inegaliteprecedenten’estuneegalitequesix=you ∈ {0,1}. Ennfest (strictement) concave sifest (strictement) convexe.

n Une partieEdeRest diteOs-myertqieuisleleestglobalementavninairet parlasymetriecentraleanedecentreO. Siest un scalaire, on noteE l’image deEhoel’arpetciedettrhemnoOet de rapport. n On dit qu’une partieEdeRest un corps convexe si elle est convexe et d’interieurnonvide.Onremarqueraqu’uncorpsconvexeOientnts-emyqirtoceu toujoursO(carsidnassnonitreeiruxeedemeli,rueiˆmedtsenestinterx x+x parsymetrieatausside()parconvexite. 2 n Enn siEest une partie Lebesgue-mesurable deR, on note vol(E) son vol- ume. Lesdeuxiemeettroisiemepartiessontindependantesl’unedel’autre.Ilest rappelequelapresentation,laredactionetlaprecisionsontdeselementsim- portants d’appreciation des copies.

m01z--eb.tex - page 1

PartieI–Generalites n SoitKun corps convexe et compact deRcontenantOnoninassd.ieurter Question 1 n SoitK 0 etK 1 deux parties convexes deRet1] ; montrer queun reel dans [0; K  eouanontnvexe,oestco n K  = (1)K 0 + K 1 ={x∈R|∃(x 0 , x 1 )∈K 0 K 1 , x= (1)x 0 + x 1 }. Question 2 t1 SoitAune matrice dansGL n (R). Montrer que (A(K)) =A(K). Question 3 n SoitxdansR, on poseI x ={∈R + |x∈K}. 3.aMontrer queI x rmelefeajornonmtsnuevrlanietedeR + . 3.bOn peut donc poserj K (x) = infI x ; c’est un reel positif.Soit∂Kerelafronti deK. Montrer que : x∈K⇐⇒j K (x)1 etx∈∂K⇐⇒j K (x) = 1  Question 3(Etude d’exemples)  4.aExpliciterK,j K etj K dans les trois cas suivants :  2 1.Kest le disque unite (euclidien deR, 2 2.KtseerracelK={(x 1 , x 2 )∈R|1x 1 , x 2 1}, 3.KetsrallruenpagcernatmmeeldoeO.  4.bMontrer queKest un corps convexe, compact, contenantOdans son interieuret n ∀y∈Rj K (y) = max{hx, yi|x∈K}.  4.cOn suppose queKestOrquentremte-ys.eoMiruqj K etj K sont des  n n normes. Quedire de (R, j K ) et de (R, j K ) ?  Question 5(un resultat de dualite) On notep K la projection sur le convexe compactK. 5.aSoitan’appartenant pas aKetHl’hyperplan passant parp K (a) et or- thogonal a la droite passant paraetp K (aqu’il existe une equation). Montrer deHde la forme n H={x∈R|hx, ai= 1} n pour un certain vecteurudeR, telle queha, ui>1 et , pour toutxdeK, hx, ui 1.   5.bMontrer que (K) =K. Question 6Projection d’un convexe n Soitpr H nuorpectjen(ioneae)dRd’image l’hyperplan aneHet de di- rection quelconqueDleleanonparalroedun(e)neaitHmunit l’espace. On aned’unrepere(nonnecessairementorthogonal)telqueHsoit l’hyperplan d’equationx n = 0 etDla droite d’equationx 1 =x 2 =


=x n1 = 0.

m01z--eb.tex - page 2

K Montrer qu’il existeϕ K etϕdes applications depr H (K) dansRrespective- ment convexe et concave telles queKsoit l’ensemble desx= (x 1 ,


, x n ) tels que (x 1 ,


, x n1 ) appartient apr H (K) et K ϕ K (x 1 ,


, x n1 )x n ϕ(x 1 ,


, x n1 ). Partie II – Geometrie des formes quadratiques Onappelleellipsode(sous-entenducentreenO) la boule unite pour une forme n quadratique deniepositive deRlIer.atmuivnedeseˆemeerundonnatemceri n symetrique deniepositiveAonsideretdece-snmelbreelossueE(A) deRdes xtels quehx, Axi note1. OnEledesembl’eni.tsanEdineedpiostensll l’ellipsodeE(Astneiceuxco)aa (i,j) avecij, on considereEcomme une n n+1 partie deRet on le munit de la topologie induite. 2 Question 1tseusinuoelesbtdeipso(Ell) SoitAune matrice symetrique deniepositive. Montrer qu’ilexiste une matrice 21 symetrique deniepositive telle queB=Aosllpi.tedseuieddEnne’uqure l’image de la boule unite (euclidienne) par une application lineaire. Question 2e)txiveontcse(Ellipsode 1 Montrer que l’applicationA7→(detAl’ensemble des matrices) denn 2  symetriques deniespositives dansRest strictement convexe.(On pourra + songer a considerer le logarithme.)

Question 3liElops(la)xamidme n SoitKun corps convexe compactO-symetrique deR. 3.aSoitvMontrer que l’ensembleun reel strictement positif.E K,n des ellip- n sodesdeRpreemusaeiruayavoluntunvet inclus dansKest une partie compacte deE. n 3.bspodeqieuleilednriudEteisununu’eqexilE K deRinclus dansKde volume maximal pour cette propriete.

Question 4(Formes quadratiques et corps convexes) n 4.aSoitKun corps convexe compactO-symetrique deRnote. OnIs K le n groupe des automorphismes lineairesudeRtels queu(K) =K. Montrer qu’il existe une forme quadratiqueq K denie positiveinvariante parIs K , i.e,

n ∀u∈Is K ,∀x∈R

q K (u(x)) =q K (x).

4.bDonnerE K et une formeq K possible dans chacun des exemples deI.4.a.

m01z--eb.tex - page 3

PartieIII–TheoremedeBrunn-Minkowski n SoitK 0 etK 1 deux parties compactes deResntconvexssiaeremonnneec. On note n K 0 +K 1 ={x∈R|∃(k 0 , k 1 )∈K 0 K 1 , x=k 0 +k 1 }. Lebutdecettepartieestdedemontrerl’inegalitesuivante(theoremedeBruun- Minkowski) : 1 11 vol(K O ) +vol(K 1 )vol(K O +K 1 ) (1) n nn Onadmettraopalrutiusapelecrioisuinsavtn.e’Leagilteneseproduitque dans les cas suivants :soitvol(K 0 ) =vol(K 1 ) = 0, soit l’un des compacts est reduit a un point, soitK 0 etK 1 snoitamehtomiteurapohen’aelreutslgend’u ane ouune translation.

Question 1 Sia= (a 1 ,


, a n ) etb= (b 1 ,


, b n ) sont deuxn-uplets de reels, on noteP(a, b) le parallelepipede rectangle donne par n P(a, b) ={(x 1 ,


, x n )∈R|∀i∈[1, n]a i x i b i }.

On appelle standard un parallelepipede qui est de cette forme et d’interieur non vide. On suppose queK 0 etK 1 deparallonsnieseedssatelpepi-nrnuinuetnoscahc dardd’interieursdisjoints: n 0 n 1 [ [ (i) (i) (i) (i) K 0 =P(ba ,)K 1 =P(c ,d) i=1i=1

Onvamontrerparrecurrencesurn 0 +n 1 uqlei’negalite(1)estvarepoulabl K 0 etK 1 .  1.aEtablir l’egalite (1) dans le cas ouK 0 etK 1 dtnos-needssatelepipesparall dard (i.en 0 =n 1 = 1) en precisant le cas d’egalite (on pourra commencer par 1 n diviser parvol(K 0 +K 1 ) ). 1.bPourn 0 etn 1 quelconques avecn 0 ruveneuorlage,2auortentiersuperieu entierkcompris entre 1 etnainsi que deux reelstetude sorte que chacun des demi-espacesx k tetx k tu’lenneiarapsednntcotiaunotstnleplledescipe K 0 et que l’hyperplanx k =upartageK 1 uisntvaeionsquenpsoroptrelmseˆem la faitx k =tpourK 0 : vol(K 0 ∩ {x k t})vol(K 1 ∩ {x k u}) = vol(K 0 ∩ {x k t})vol(K 1 ∩ {x k u})  1.cEtablir l’inegalite (1) dans le cas ouK 0 etK 1 sdenietnosrsednuesnoi parallelepipedesstandardsd’interieursdisjoints.

m01z--eb.tex - page 4