Concours d'entree FESIC

Description

Niveau: Supérieur
Concours d'entree FESIC 2001 Dans toute question ou il intervient le plan (respectivement l'espace) est rapporte a un repere orthonormal direct (O, ??ı , ??? ) = (Oxy) (respectivement ( O, ??ı , ??? , ?? k ) = (Oxyz) ). Exercice 1 Soit f la fonction definie sur I = ] ?∞, 1] par f(x) = 2x √ 1 ? x et C sa courbe representative. On designe par T la tangente a la courbe C au point d'abscisse x = 0. a) Pour tout x < 1, on a : f ?(x) = 2 ? 3x √ 1 ? x . b) Pour tout x ? I, on a : f(x) 4 √ 3 9 . c) Une equation cartesienne de T est y = 2x. d) La courbe C est au-dessus de T. Exercice 2 Soit f et g les fonctions definies sur I = ] ?∞, 1] par f(x) = ln(x + 1) + e?x et g(x) = ex ? (x + 1). a) La fonction g est positive sur I. b) Pour tout x ? I, on a : f ?(x) = e?x x + 1 g(x).

• argument de z


• unique solution


• reel ?


• equation d'inconnue complexe


• complexes conjuguees distinctes


• droite d'equation

Informations

• Publié par: apmep
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Français

Extrait

Concours

d’entre´e

FESIC

2001

Danstoutequestionou`ilintervientleplan(respectivementl’espace)est −→−→ rapporte´a`unrep`ereorthonormaldirect(O, ı , ) = (Oxy) (respectivement   −→ −→−→ O, k,  , ı = (Oxyz) ).

Exercice 1 Soitftcoifanol=]surIfiniend´e− ∞,1] par

f(x) = 2x1−x etCgiseapenalTrgnatse´eatnte.ivd´Onente`alacourbeprrebeurcosa Cau point d’abscissex= 0. 2−3x  a)Pour toutx <1, on a :f(x.) = 1−x 4 3 b)Pour toutx∈:I, on a f(x). 9 c)ednneseTt´arieestauqcnoiUte´eny= 2x. d)La courbeCest au-dessus de T.

Exercice 2 Soitfetgd´nsioctonsfleIr]=seusfiein− ∞,1] par

−x x f(x) = ln(xet+ 1) + e g(x) = e−(x+ 1). a)La fonctiongest positive sur I. −x e  b)Pour toutx∈I, on a :f(x) =g(x). x+ 1 c)La fonctionfest bijective de I sur ]0,+∞[. d)´reeqieununusietlxelIαdans I tel quef(α) = 0.

Exercice 3 Soitfinseruefid´ontincfolaRpar

x f(x) = (−x+ 3)e ,

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etCerepourbsac.itevneat´rse a)Pour toutx >0, on a :f(x)−x+ 3. b)uationited’´eqordaLy=ouacerbtpto`elae0tssamyC. c)La fonctionfadmet un unique extremum. 2 d)utr´urtooPeelmauqe´’l,=enoitf(x) =madmet soit 0 soit 2 solutions.

Exercice 4 Soitfdnoinfie´apeirlafonct  2x x f(x) = ln e−1)e + , Dtenoitinfi´eededblemnsnesoCruocasev.tatiesenifr´bere a):On a D=R. −x−2x b)Pour toutx∈ D, on a :f(x) = 2x+ ln (1−e + e ). c)La courbeCrdioet’damdtealoitauqe´ny= 2xcomme asymptote en +∞. d)La courbeCniquuneugentetanmdtea(Oxerape`lla`elea’lax).

Exercice 5 ∗ Soitf´efiniesurlfanotcoidnRpar   2 f(x) =xsin. x   4 4 a):On a f= π π b)On af(x) = 0 si et seulement s’il existe un entier relatif non nulktel 1 quex= . kπ c): limOn a f(x) = 1. x→0 d)On a : limf(x) = 2. x→+∞ Exercice 6 Pourtoutcoupleder´eelsaetbtels que (a, b)= (0,),0d´onstrufiein ]0,+∞[ la fonction

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lnx f a, b (x) =ax+b+ x et on noteC a, b vita.ee´rptnesurcorebesa a)Pour tout couple (a, b)= (0,daor)0l,ontiuaeq’´edity=ax+best asymptotea`lacourbeC a, b . b)Pour tout couple (a, b)= (0,: lim0), on a f a, b (x) =b. + x→0 c)Il existe une unique courbeC a, b padoorcodees´ennraptnassAtniopel (1, 1). d)Il n’existe pas de courbeC a, b prlepointassantpano´neesdBceoodr (1,teanttmeadet0)rapetnegnatenuBnroitaladele`all`itnoqeaude´’y= 2x.

Exercice 7 Soitnun entier naturel non nul etI n ar´dfieinpe  1 n I n += (1 x) ln(1 +x)dx. 0 a)Pour toutx∈1], on a : 0[0 ; ln(1 +x)ln 2. b)Pour toutn∈N∗, on a : 0I n 2 ln 2. c)La suite (I n ) ∗ dte´se.teanssoicr n∈N d)La suite (I n ) ∗ converge vers 0. n∈N

Exercice 8 Soitnun entier naturel non nul etI n rape´deinfi  1 n1−x I n =xe dx. 0 a)On a: I 1 = e−1. b)La suite (I n ) ∗ est croissante. n∈N 1 e c)Pour tout entiern >0, on a :I n . n+ 1n+ 1 d)La suite (I n ) ∗ ne tend pas vers 0. n∈N

Exercice 9 SoitFctonaflruseinfie´dnoiRpar  x 2 1−t F(x) =te dt. 1

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a)La fonctionFest positive pour toutxpositif.   1 2 1−x b)Pour toutxr´ena:el,oF(xe) = −1. 2 2 1−x c)Pour toutxo,an:rel´eF(x) =xe−1. d)On a : limF(x) = +∞. x→+∞ Exercice 10 Onconside`relasuite(S n ) ∗ lreertitunatuneruot,eopfieind´nnon nul, n∈N par

n  k1 2n S n ++ + = = . 2 2 2 2 n n n n k=1 n+ 1 a)Pour tout entiern >:0, on a S n = . 2n 1 b)Pour tout entiern >0, on a : 0S n . 2 c)On a : limS n = 0. n→+∞ d)La suite (S n ) ∗ est croissante. n∈N

Exercice 11 Soitfesurniefid´ontincfolaRpar

x f(x) =−1−e. 1  a)Pour toutx−1, on a :−f(x)0. e b)e´’Ltauqnoif(x) =xadmet deux solutions surR. Onde´signeparαiqunl’ituloseutage´nnoauqenoitdevi´’lef(x) =xet on conside`relasuite(u n eparlared´efini)encerruce´rednoitalu n+1 =f(u n ) n∈N pour tout entier natureln, et de premier termeu 0 −1. c)Pour tout entier natureln, on a :u n −1. 1 d)Pour tout entier natureln:, on a |u n −α||u 0 −α|. n e Exercice 12 Onconsid`erelenombrecomplexe

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2 iπ Z=−e. 3 1 + i a):On a |Z|= 1. iπ b):On a Z=−(1−i)e . 3 iπ c)e´releL−guarntmeedenutsZ. 12 13iπ d):On a Z= e. 12

Exercice 13  Sizetzde´seopno,sexelpmocsebromxneutdengnsi

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  Z=zz+zz .  a)Siz= 2i etz=−1, alorsZ= 4i. iπ 3iπ b)Siz= e etz4, alors= e Z= 0. 4  c)Siz=z, alorsZ= 2|z|. d)Sizest le nombre complexe de moduler >0 et d’argumentθet    zest le nombre complexe de moduler >0 et d’argumentθ, alorsZ=   2rrcos (θ−θ).

Exercice 14 Soitαuenanpartelapnr´e[e0avlltnrelti’,π] et (E α ´el’atqu)unnoednoicni’ complexez

2 z+ 2(sinα)z(E+ 1 = 0 α ) a)Pour toutα∈[0, π]l,´’qeuation(E α ) admet deux racines complexes conjugu´eesdistinctes. b)Il existe une unique valeur deα∈[0, π] pour laquelle i est solution de (E α ). c)Pour toutα∈[0, π,]’le´atqun(ioE α :) a pour solutions

z 1 = sinα−i cosαetz 2 = sinα+ i cosα. d)Pour toutα∈[0, π]E(noituaeq’´,l α ) a pour solutions

π i ( 2 ) z 1 = e

et

π ( 2 ) i− z 2 = e.

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Exercice 15 SoitA,B,Ctroispointsnonalign´esduplanPetGintdlepoipar´efin

−→ 1 −→ 1 −→ AG= AB + AC. 4 2 a)Le pointGnd´er´esopnistoptse`emedecyrabelysudertnste{(A, 1) ; (B, 1) ; (C,2)}. b)L’applicationf:P → Pnittuopa`otuq,iMdu plan, associe le point  Me´dnalpudaripfin −−−→ −−→−→−→  M M=MA +MB + 2MC. estl’homothe´tiedecentreGet de rapport 3. c)Le pointGointIestlemilieuudstemileeulisedunemgCI[t`o,]pelu segment [AB]. d)Si le triangle (ABC) est rectangle en A, alorsGA =GC.

Exercice 16 SoitCrte´pee´pebrmaraacoular  t−t x+ e= 2e t−t y= 2e−e ou`leparam`etretcritd´eRSoitMcoor(de´eesdonna, b) un point deC. −→ a)Le vecteurvnnodroocde(see´b, a) est un vecteur directeur de la tangente`aCau pointM. −→ b)SoitNpeltnioocedse(nne´roodb, a) etTfiniptd´epoinleOraT= −−→−→ OM+ ON . Alors la droite (M Trbee`alacoutanaegtn)seltCau pointM. 2 c)La courbeCeeqd’n´utsiluaantocueascteedornbneisenacnoe´trx− 2 y= 4. d)La courbeCn’a pas d’intersection avec l’axe (Ox).

Exercice 17 Onconsid`ereunesuccessiondesacsqu’onde´signeparS 1 , S 2 . . , S, . n , ...Aud´epart,lesacS 1 ; tous lescontient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc autres sacs contiennent chacun 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On tire au hasard un jeton du sac S 1 , que l’on place dans le sac S 2 . Puis, on tire au hasard un jeton du sac S 2 , que l’on place dans le sac S 3 , et ainsi