Corrige Groupement D 2009

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-££l-·-Þ£l££Þ££ÞlBTS Session 2009Exercice 1 (9 points)A Loi Binomiale et approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson.P E = 0,0151) E : " un tuyau prélevé au hasard dans la livraison est défectueux ", ( ) .1.a) On prélève au hasard 20 tuyaux, un tuyau peut être défectueux avec une probabilité égale à 0,015 ou non défectueux : 20 tirages indépendants conduisant chacun à deux issues contraires.. la variable aléatoire X qui, à tout a tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de tuyaux défectueux suit la loi binomiale depa ramètres n = 20 et p = 0,0151.b) Probabilité qu' aucun des tuyaux ne sodéit fectueux : 203p X = 0 = 1 0,015 = 0 ,7391 p X= 0= 0 7,39 à 10( ) ( ) ( )1.c) Probabilité que deux tuyaux au plus soiedént fectueux : P X 2 = P X= 0 + P X= 1 + P X= 2 = 0,7391+ 0 ,2251+ 0 0,326= 0 9,968( ) ( ) ( ) ( )3P X 2 = 0,997 à 10( )2) On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de 200 tuyaux, associe l enombre de tuyaux défectueux, Y suit la loi binomiale de paramètres 200 et 0,015.a) Y peut être approchée par une loi de Poisson : = n p = 3 .b) Z variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre= 3 , où P Z 4 = P Z= 0 + P Z= 1 + P Z= 2 + P Z= 3 + P Z= 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).P Z 4 = 0,050+ 0 ,149+ 0 2,24 + 0 2,24 + 0 16,8 P Z =4 0 81,5( ) ( )B. Loi normale.Dans cette partie on s'intéresse au diamètre extérieur des tuyaux, exprime en millimètres.D1° la variable aléatoire qui, à tout ...

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Extrait

BTS Session 2009

Exercice 1 (9 points)

A

1)

Loi Binomiale et approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson.

E : " un tuyau prélevé au hasard dans la livraison est défectueux ", P E 0 , 01 5 .

1.a) On prélève au hasard 20 tuyaux, un tuyau peut être défectueux avec une probabilité

égale à 0,015 ou non défectueux : 20 tirages indépendants conduisant chacun à deux issues

contraires.. la variable aléatoire X qui, à tout a tout prélèvement ainsi défini, associe le

nombre de tuyaux défectueux suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,015

1.b) Probabilité qu' aucun des tuyaux ne soit défectueux :

p X

20 0 1 0 , 01 5

0 , 7391

p X 0 0 , 739 à 1 0 3

1.c) Probabilité que deux tuyaux au plus soient défectueux : P X 2 P X 0 P X 1 P X 2 0 , 7391 0 , 2251 P X 2 0 , 997 à 1 0 3

2)

a)

b)

0 , 0326

0 , 9968

On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de 200 tuyaux, associe le

nombre de tuyaux défectueux, Y suit la loi binomiale de paramètres 200 et 0,015.

Y peut être approchée par une loi de Poisson :

n p

Zvariable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre P Z 4 P Z 0 P Z 1 P Z 2 P Z 3 P 4 0 , 050 0 ,  01 49 , 224 0 , 2204 , 1 68 P Z

P Z

B. Loi normale.

Z 4

3 .

3 , où 4 . 0 , 81 5

Dans cette partie on s'intéresse diamètre extérieur des tuyaux, exprime en millimètres.au

1° D 1   la variable aléatoire qui, à tout tuyau associe son diamètre extérieur. D suit la loi normale de moyenne 40 et d'écart type 0,2. 1   Un tuyau ne peut être commercialisé que si son diamètre extérieur est entre 39,6 mm et

40,4 mm. La probabilité qu'un tuyau prélevé au hasard dans la production de la journée soit

commercialisable est alors : P

39 , 6

D 1

40 , 4 .

34843.doc

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