Deuxième composition de Mathématiques 2004 Classe Prepa MP Ecole Polytechnique

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Examen du Supérieur Ecole Polytechnique. Sujet de Deuxième composition de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Deuxième composition de Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 février 2007
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Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D’ADMISSION 2004

MP FILIÈRE

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   

3 Courbures des surfaces dans l’espaceR

3 Ce problème propose une étude des surfaces de l’espaceRet de leurs courbures totale et n moyenne. Pour tout entiern >0, l’espaceRsera muni de son produit scalaire et de sa norme usuels notés respectivement(.|.)et.. La première partie est consacrée à des préliminaires algébriques.

Première partie

(i) (1) (n)n+1 (i) éléments deR,(x) 1.Soientx ,. . ., xdes j j=1,... ,n+1 les composantes dexdans n+1k+1 la base canonique deR. Pour toutk= 1, n, . . .+ 1on noteV k le produit par(−1)du (i) déterminant de la matrice(x)oùi= 1, . . ., netj= 1, . . ., k−1, k+ 1, . . ., n+ 1. On noteV j n+1 le vecteur deRde composantesV k .

(i) 1.a)Montrer queVest orthogonal à tous lesx.

1.b)Comparer les conditions suivantes : i)V= 0 (i) ii)la famille(x) i=1,... ,n est liée.

(1) (n) 1.c)Exprimer en fonction deVle déterminant desn+ 1vecteurs, xV, x, . . .dans la n+1 base canonique deR.

(1) (n) 2.a)Montrer que, pour toutn-uple de vecteurs(, x. . .x ,)linéairement indépendants, (1) (n) il existe un unique vecteurW(. . ., , xx ,)ayant les propriétés suivantes

(1) (n) (i) i)W(x ,. . ., x)est de norme 1 et orthogonal à tous lesx

(1) (n() (1)n) ii)le déterminant desn+1vecteursW(. . .x ,, x), x, x, . . .dans la base canonique n+1 deRest strictement positif.

1

n+1 2.b)Vérifier que, pour toute rotationRdeR, on a Ä äÄ ä (1) (n() (1)n) W R(x), R, . . .(x) =R W(x ,. . ., x).

n 3)Soit(e 1 , . . ., e n )une base deR,Qla matrice de coefficientsq i,j = (e i |e j ).

3.a)Montrer queQest inversible et diagonalisable. Que peut-on dire de ses valeurs propres?

n 3.b)Soitvun vecteur deR, de coordonnéesv i dans la base(e 1 , . . ., e n ). Exprimer le Ä ä vecteur ligne(v 1 , v, . . . n )en fonction deQet du vecteur ligne(v|e 1 ), . . .,(v|e n ).

n Dans la suite du problème, on désigne parUune partie ouverte deR, paru= (u 1 , u, . . . n ) 2n+1 un élément quelconque deU, parFune application de classeCdeUdansR, par∂ i F(resp. ∂ i ∂ j F)ses dérivées partielles d’ordre 1 (resp. 2). On suppose que lesn-vecteurs(∂ i F)(u)sont Ä ä linéairement indépendants pour toutu, et on poseW(u) =W(∂ 1 F)(u), . . .,(∂ n F)(u). 1 4.a)Vérifier que l’applicationu→W(u)est de classeC. Ä äÄ ä 4.b)Comparer(∂ k W)(u)|(∂ i F)(u)etW(u)|(∂ i ∂ k F)(u). 4.c)Démontrer l’existence et l’unicité de nombres réelsa i,j (u)tels que l’on ait  (∂ i W)(u) =a i,j (u)(∂ j F)(u). j 4.d)On note respectivementA(u), S(u), Q(u)les matrices de coefficients respectifs Ä äÄ ä −1 a i,j (u), W(u)|(∂ i ∂ j F)(u),(∂ i F)(u)|(∂ j F)(u). Vérifier queA(u) =−S(u)Q(u).

Deuxième partie

2 Dans toute la suite du problème, on supposen= 2; on a donc un ouvertUdeRet une 2 3 applicationFde classeCdeUdansRtelle que les vecteurs(∂ 1 F)(u)et(∂ 2 F)(u)soient linéairement indépendants pour toutudeU. On a en outre (∂ 1 F)(u)∧(∂ 2 F)(u) W(u) = (∂ 1 F)(u)∧(∂ 2 F)(u) 3 où.∧.désigne le produit vectoriel dansR. On pose 1 K(u) = detA(u), H(u) =trA(u) 2 oùA(u)est la matrice définie à la question4.d). On noteF i (u), i= 1,2,3, les composantes de F(u); on suppose queUcontient le point 0 et on fait l’étude de la surfaceF(U)au voisinage du pointF(0). ˆ ˆ 3 5.SoitRune rotation deR. Montrer que les objetsK(0)etH(0)associés à l’application ˆ F=R◦Fsont égaux respectivement àK(0)etH(0).

2

6.On suppose que, pourusuffisamment voisin de0, F(u)est de la forme Ä ä F(u) =u 1 , u 2 , f(u 1 , u 2 )

avecf(0) = (∂ 1 f)(0) = (∂ 2 f)(0) = 0.

6.a)CalculerK(0)etH(0)en fonction des nombres

r= (∂ 1 ∂ 1 f)(0), s= (∂ 1 ∂ 2 f)(0), t= (∂ 2 ∂ 2 f)(0).

6.b)(Cas d’un cylindre) On suppose quef(u 1 , u 2 )est fonction deu 1 seul, soit f(u 1 , u 2 ) =g(u 1 ). ExprimerH(0)en fonction de la courbure de la courbeΓ, intersection du cylindre avec le planx 2 = 0.

7.)Dans cette question, on considère le cas d’une surface de révolution : Ä ä F(u) =f(u 1 ) cosu 2 , f(u 1 ) sinu 2 , u 1

2 oùfest une fonction strictement positive de classeCdéfinie sur un intervalle I.

7.a)Dire pour quelles valeurs deules vecteurs(∂ 1 F)(u)et(∂ 2 F)(u)sont linéairement indépendants.

7.b)Vérifier que Ç  Ä ä −12 −3/2 f(u 1 )f(u 1 ) A(u) =f(u 1 +) 1f(u 1 ) 0

å 0 Ä ä . 2 −1 +f(u 1 )

7.c)Donner une fonctionfélémentaire pour laquelleH(u)est nul pour toutu.

7.d)Montrer que, pour tous nombres réelsαet>β, α0, il existefsatisfaisant  H(u) = 0pour toutfu ,(0) =α ,f(0) =β . Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

7.e)CalculerK(u)pour une telle fonctionf.

8.)Indiquer, sans aucun calcul, des surfaces pour lesquellesK(u)etH(u)sont des constantes.

Troisième partie

Dans cette partie, on se propose d’étudier l’effet d’un changement de paramétrage sur les fonctionsHetK. ∂F Dans la situation du début de la deuxième partie on notela matrice (jacobienne) de ∂u Ä ä ∂F ∂W coefficients=∂ j F i . Notation analogue pour. i,j ∂u ∂u 3

∂W ∂F t 9.Vérifier que=A(u). ∂u ∂u ˜ 2 On se donne maintenant un difféomorphismeΦdeUsur un autre ouvertUdeRet on ˜ −1 poseΨ = Φ. Pour toutu∈Uon écrira aussi˜u= Φ(u); on poseF(˜u) =F(u), c’est-à-dire ˜ ˜˜ ˜˜ ˜ F=F◦Ψ, et on noteW(u˜), A(u˜), K(˜u), H(u˜)les objets définis à partir deFet˜ucomme W(u), A(u), K(u), H(u)l’ont été à partir deFetu. On supposeUconnexe par arcs. ˜ ∂F ∂F∂Ψ ˜ ˜ 10.a)puiset ,fonction deExprimer en(∂ 1 F)(u˜)∧(∂ 2 F)(u˜)en fonction de ∂u˜∂u ∂u˜ ∂Ψ (∂ 1 F)(u)∧(∂ 2 F)(u)et dét. ∂˜u ˜ 10.b)Montrer qu’il existeε∈ {1,−1}tel que l’on aitW(u˜) =εW(u)pour toutu∈U. ∂Ψ ˜ 10.c)ExprimerA(u˜)en fonction deε, A(u)et . ∂˜u ˜ ˜ 10.d)ComparerH(u˜)etH(u), K(u˜)etK(u).

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