Danstoutleproble`me,onseplacedanslecadred’unplaneuclidienΠort´erapp −→−→ `aunrepe`reorthonorme´direct(, O, ı)truapaopaprrseeonn´oordlescquel sontnote´esxety. La droiteΔoitantfidne´sepaieonrsqu´ex=aou`aest une constanter´eellestrictementpositive;ellecoupel’axedesabscissesaupointA.
La notation :
X={M ϕ(x, y) = 0}
de´signelapartieXd´anniefipldusdespointneesbmelcemoem’lMdont les coordonne´es(x, y)eg’´tlenifierv´e´latiϕ(x, y) = 0easppteatlioornsrelale´teteec; une´equationdeXioitfin´egulonana´soptseeelsnadeecasdecoordonn´eesnUde. −→ polaires(ρ, θ)aprrrtporeauerp`rofede´mioputnapOet de la demi-droiteR+ı.
Premie`repartie
Soitknocenutreslleer´teanstrapce´detiropisitevcietemtnlacourbe.OnnoteΦ le pointMonrdeesn:´dooec
x=a+kcost, y=atant+ksint i hi h π ππ3π ou`te´dlar´critoneuni−,∪,. On noteHla projection orthogonale 2 22 2 deMΔe’droodnne´esurΔetΩlepointdatant.
1.1Dans le cas particuliera= 1,kns,´atiovaribeΦ(ocrurealutid,2e´=dutee asymptotique,pointssinguliers,repre´sentationgraphique...);onpourras’aider d’une calculatrice graphique.
1.2eral´en´casgnsletn:gnausiite,dnonDderuadΦelrenlla’ a)lescaso`u0< k < a, b)lecasou`k=a, c)lescaso`uk > a.
1.5stnige´rlrenopseetD´mieruliersMde Φ et donner en ces points les coor-donne´esd’unvecteurnormal.
1.6ni’dsretitcenoiotndspu´needrnoscooerlelculCaRde la normale enM avecladroited’´equationy=atantu`osacedanslMs`pantiexe’aaltrappa’n des abscisses. Que peut-on dire du triangleROΩ ?
Unaxeestde´finiparunedroiteD, un pointO1deDet un vecteur unitaire −→ udirigeantD. Pour tout couple(A, B)de points deD, on appelle mesure alge´briqueetl’onnoteABneec´ffrealidxB−xAde leurs abscisses relatives au −→ repe`re(O1, u)pe´dnitsdetnadnerauerqmaeell’equnoer:upointO1. La distance de deux pointsMetNdeelaupstnet´noM N. S’ils sont distincts, on note(M N)l’unique droite qui les joint.
Sur l’hyperbole
´ 2.1Eci-ene,ilutipecquroeuqi´ras,nalsniasdanslepdeThal`ee´roe`emirerelht santlesmesuresalge´briquesde´finiesci-dessus:onsedonneradeuxaxesdistincts 0 00 coupant chacun un triplet de droites (D, D, Dtnossere`inrd)noltseedxued parall`elesetdisjointes,etl’one´crira,sansjustification,uneconditionn´ecessaire etsuffisantesurlessixpointsd’intersectionpourquelesdeuxpremie`resle soient,´eclaire´eparunefigurea`mainlev´ee.
n point (O1y) points
2.2dΠnolpnaseudsixattrooienSunestnace´s,rsieempruxdeestl O1, sont respectivement l’axe des abscisses (O1xxe’asodeonrdeen´slte) d’uncertainrep`ereaffine,letroisie`melescoupantrespectivementendeux distinctsUetV. Pour tout pointMde (U V), autre queUouV, on notePetQses projectionsrespectivessurchacundesdeuxaxesdecoordonne´esparalle`lement `al’autre.D´eterminerl’uniquehyperboleHpassant parMet admettant (O1x) et (O1y) comme asymptotes (on pourra introduire les projections sur les axes 0 d’un point courantMdeH).
` 0 2.3delpmexerapedia’Aloinpntrtreuqu’`lsem,noemedeThauth´eor`Mde (U V), distinct deM`at,airtanpepHeuqirte´ednts’lemetsymilesstueise,M par rapport au milieu de [U V].
Dans ce qui suit,Mest un point d’une parabolePde foyerF, de sommetSet de directriceD, etHsa projection orthogonale surD.
2.5SoitTaide´malsudecirt[ntmeegF H]. Montrer que, pour tout pointN deTeddrentiff´eMet se projetant orthogonalement enKsurD, on dispose del’in´egalit´eN F> NKlisecno’isnore`dnpeuntoiC.ree´ustltareste-t-ilvalabl 0 00 Ntel queN F >N H?
2.6ede´ce´raleuqetnteenngta`ae´udDelaqiredionpuestPenMest la m´ediatricedusegment[F H].
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2.7Quel est l’ensemble des projections orthogonales deFaenngs`terlsutaes la parabole?
2.8Ctnioier´c´ntpsieeladlsbetripeplopisrntcieodn’´uentpaleatptueiqsuseas parrapporta`uncercle. a) SiAetBcevase´ngilatndspxiodtuesnolanΠedupercl’uncM, onde´finitlapuissancedeMpar rapport au cercle comme le nombre 2 M A.M Bs’ils sont distincts, etM As’ils sont confondus et siMap-´ partienta`latangenteenAbatE.hocalril.niefiontitece´detere´decn b) Si (x0, y0nn´eesdeescoordoceuolpde)seltMeerp`ernua`sevitaler orthonorm´edanslequellecercleapoure´quation:
2 2 C(x, y) =x+y−2ax−2by+c= 0,
montrer que la puissance deMse´tgela`eaC(x0, y0). c) Quepeut-on dire des points de puissance nulle par rapport au cercle? d)D´eterminer(parexempleanalytiquement)l’axeradicaldedeuxcercles decentresdistincts,c’est-`a-direlelieudespointsayantmeˆmespuis-sancesparrapport`acescercles.
0 0 2.9Soit (M, M) un couple de points distincts deP,Ileur milieu etHetH leurs projections orthogonales respectives surD. a)De´terminerl’ensembledespointsayantmeˆmepuissanceparrapportaux 0 deux cercles passant parFreetr´esenemtnectnpsceitevMetM. b) SoitJexa’lednplacidarnt’ilioctseertciridereuecQ.´eder´ecdelantet 0 peut-on dire du triplet de points (J, H, H) ?
2.10itt´neodee´sacotrldbetsidaelrpniicapeClertptpeoqiurees´Payant une directiondonn´ee. 0 a) Montrerque, lorsque l’on fait varier le couple (M, M)aelqunoc¸afed 0 droite (M M)ep,lntoitcoifinexuaeniderall`ele`resteparI´editcrrolas unepartied’unedroiteorthogonalea`D. 0 b)Quedevientlaconfigurationpre´ce´dentelorsqueladroite(M M) devient tangente`alaparabole?Relierlafigureainsiobtenueaure´sultatdela question 2.7. c)Soitunedroitequelconqueperpendiculaire`aD. Montrer qu’elle est unaxedesym´etrie(g´ene´ralementnonorthogonale)pourlaparabole etdonneruneconstructionge´ome´triquedeladirectionselonlaquelle s’exercecettesyme´trie.
2.11SoitQun point dePdistinct deSet (N, M) un couple de points distincts dePaele`all`eparcord´edrmteaninnetuSQ. On noteLpeiolrpaniefid´nt −→→− N L=SQ,Arte´myselogonaldeiqueorthNro`tlaa’praarppxeSFde la parabole, Ω etRepsersnoapsevitcle`ellral’`antmejeorpxiatdceeselAet deQ −→−−→ sur (N Mtseupnoice´rede´elnteg’´ital´e´edu).DelaqiredN L= ΩM. ´ Etendreler´esultataucasou`M=N’oulo`ete(tiordalecalpmernN M) parlatangentea`PenN.