EML 2001 mathematiques classe prepa hec (ece)

Description

Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 2001MATHEMATIQUES1Łre Øpreuve (option Øconomique)Les candidats ne doivent pas faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.Exercice 1On considŁre la matrice carrØe rØelle d’ordre quatre :0 11 0 0 1B C1 0 0 1B CA =@ A0 1 0 10 0 1 14 4et l’endomorphisme f deR dont la matrice dans la base canoniqueB = (e ;e ;e ;e ) deR est A.1 2 3 41. Montrer que A n’est pas inversible. En dØduire que 0 est valeur propre de A.2 3 42. (a) Calculer A , A , A .(b) Etablir que 0 est la seule valeur propre de f.(c) DØterminer la dimension du noyau de f.(d) Est-ce que f est diagonalisable ?3. On note " =e , " =f(" );" =f(" );" =f(" ), etC = (" ;" ;" ;" ).1 1 2 1 3 2 4 3 1 2 3 44(a) Montrer queC est une base deR .4(b) DØterminer la matrice N de f relativement à la baseC deR .4 1 24. Existe-t-il un automorphisme g de l’espace vectorielR tel que gfg =f ?Exercice 2On considŁre l’application f : [0;+1[! R, dØ…nie, pour tout x de [0;+1[, par :( xsi x> 0xf(x) = e 11 si x = 01. (a) Montrer que f est continue sur [0;+1[.1/31 0(b) Montrer que f est de classe C sur ]0;+1[. Pour tout x2]0;+1[, calculer f (x).10(c) Montrer que f (x) tend vers lorsque x tend vers 0.21(d) En dØduire que f est C sur [0;+1[.xe2 00 x2. (a) Montrer que f est de classe C sur ]0;+1[ et que: 8x2]0;+1[ f (x) = (xex 3(e 1)x2e +x+2)(b) ...

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0xf(x) = e 11 si x = 01. (a) Montrer que f est continue sur [0;+1[.1/31 0(b) Montrer que f est de classe C sur ]0;+1[. Pour tout x2]0;+1[, calculer f (x).10(c) Montrer que f (x) tend vers lorsque x tend vers 0.21(d) En dØduire que f est C sur [0;+1[.xe2 00 x2. (a) Montrer que f est de classe C sur ]0;+1[ et que: 8x2]0;+1[ f (x) = (xex 3(e 1)x2e +x+2)(b) ..." />

Programme ESC dE.M.LYON

CONCOURS DENTREE 2001

MATHEMATIQUES

1ère épreuve (option économique)

Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Exercice 1 On considère la matrice carrée réelle dordre quatre : 0 1 1 0 01 1 0 01 BC A= @ A 0 1 01 0 0 11 4 4 et lendomorphismefdeRdont la matrice dans la base canoniqueB= (e 1 ; e 2 ; e 3 ; e 4 )deRestA. 1.Montrer queAnest pas inversible.En déduire que0est valeur propre deA. 2 3 4 2.(a) CalculerA,A,A. (b) Etablirque0est la seule valeur propre def. (c) Déterminerla dimension du noyau def. (d) Est-cequefest diagonalisable ? 3.On note" 1 =e 1 ," 2 =f(" 1 ); " 3 =f(" 2 ); " 4 =f(" 3 ), etC= (" 1 ; " 2 ; " 3 ; " 4 ). 4 (a) MontrerqueCest une base deR. 4 (b) Déterminerla matriceNdefrelativement à la baseCdeR. 41 2 4.Existe-t-il un automorphismegde lespace vectorielRtel quegfg=f?

Exercice 2 On considère lapplicationf: [0;+1[!R, dénie, pour toutxde[0; +1[, par : ( x six >0 x f(x) =e1 1six= 0 1. (a)Montrer quefest continue sur[0; +1[.

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