EML 2006 mathematiques classe prepa hec (ecs)

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Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 2006MATHEMATIQUES1Łre Øpreuve (option scienti…que)Les candidats ne doivent pas faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite.Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.ProblŁme IPrØliminaires 12n t1. (a) Justi er, pour tout n2N : t e = o .2t!+1 t+1Z2n t(b) Montrer que, pour tout n2N, inl tØgrale t e dt est convergente. 1+1Z2t2. En dØduire que, pour tout polyn me P deR[X], inl tØgrale P(t)e dt converge. 1+1Z p2tOn admet dans tout le problŁme : e dt = . 1+1Z2n tOn note, dans tout le problŁme, pour tout n2N : I = t e dt.n 1n+13. (a) tablir, à l aide d’une intØgration par parties, pour tout n2N : I = I .n+2 n2(b) Montrer, pour tout p2N : I = 0.2p+1p(2p)!(c) Montrer, pour tout p2N : I = .2p 2p2 p!I. Recherche d’extrØmums locaux pour une fonction de deux variables rØelles2 2On note F :R !R l application dØ…nie, pour tout (x;y)2R , par :+1Z1 22 2 tpF(x;y) = (t x) (t y) e dt 13 12 2 2 2 21. Montrer, pour tout (x;y)2R : F(x;y) = + (x +4xy +y )+x y .4 222. Calculer les dØrivØes partielles premiŁres de F en tout point (x;y) de R , et en dØduire les trois pointscritiques de F.1/43. DØterminer les extrØmums locaux de F. En chacun de ceux-ci, prØciser s’il s agit d un minimum local oud un maximum local, et prØciser la valeur de F en chacun de ces points.II. Calcul d’intØgrales dØpendant d’un paramŁtre+1 +1Z Z2 2t t1. ...

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Extrait

Programme ESC dE.M.LYON

CONCOURS DENTREE 2006

MATHEMATIQUES

1ère épreuve (option scientique)

Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Problème I Préliminaires   2 1 nt 1. (a)Justier, pour toutn2N:t e=o. 2 t t!+1 +1 Z 2 nt (b) Montrerque, pour toutn2N, lintégralet edtest convergente. 1 +1 Z 2 t 2. Endéduire que, pour tout polynômePdeR[X], lintégraleP(t)e dtconverge. 1 +1 Z 2 p t On admet dans tout le problème :e dt=. 1 +1 Z 2 nt On note, dans tout le problème, pour toutn2N:I n =dtt e. 1 n+ 1 3. (a)tablir, à laide dune intégration par parties, pour toutn2N:I n+2 =I n . 2 (b) Montrer,pour toutp2N:I 2p+1 = 0. (2p)! p (c) Montrer,pour toutp2N:I 2p =. 2p 2p! I. Recherche dextrémums locaux pour une fonction de deux variables réelles 2 2 On noteF:R!Rlapplication dénie, pour tout(x; y)2R, par : +1 Z 1 2 2 2t F(x; y) = p (tx) (ty)e dt  1 3 1 2 22 22 1. Montrer,pour tout(x; y)2R:F(x; y) =+ (x+ 4xy+y) +x y. 4 2 2 2. Calculer les dérivées partielles premières deFen tout point(x; y)deR, et en déduire les trois points critiques deF.

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