ENAC 2004 icna epreuve commune classe prepa mp

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Questions li´ees : 1 `a 16 et 17 `a 40.La calculatrice personnelle est interdite; le concours fournit une calculatrice.PARTIE ISoit E un espace vectoriel euclidien de dimension 4 rapport´e `a une base orthonorm´ee B =(e ,e ,e ,e ). On consid`ere l’endomorphisme f de E qui a` tout vecteur de coordonn´ees1 2 3 4 a,b2 2 2(x,y,z,t) dans la baseB associe le vecteur de coordonn´ees (a x+aby +abz +b t,abx+a y +2 2 2 2 2b z+abt,abx+b y+a z+abt,b x+aby+abz+a t) dans la baseB, ou` a,b sont des r´eels fix´es.Question 1. La matrice M de f dans la baseB v´erifiea,b a,b 2(a+b) 0 0 02 0 (a+b) 0 0 a) M =a,b 2 0 0 (a+b) 020 0 0 (a+b)b) M est sym´etrique et a` coefficients complexesa,bc) M est inversible car toute matrice sym´etrique r´eelle est inversiblea,bd) M est diagonalisable car toute matrice sym´etrique complexe est diagonalisable.a,bQuestion 2. Le polynˆ ome caract´eristiqueχ(λ) = det(f −λid) de l’endomorphismef peut s’´ecrire,ida,b a,bd´esignant l’endomorphisme identit´e 2 1 ab ab b 2 2 1 a −λ b ab2 a) χ(λ) = (a+b) −λ 2 2 2 2 0 b −a +λ a −b −λ 0 2 2 0 0 0 a −b −λ 1 1 0 0 2 2 2 ab a −λ b −a +λ 02 b) χ(λ) = λ−(a+b) 2 2 2 ab b a −b −λ 0 2 2 2 b ab 0 a −b −λ 1 −1 0 2 2 2 2 c) χ(λ) = λ−(a+b) λ−a +b ab λ−a −1 2 ab −b 1 1 ab ab 2 2 2 2 2 d) χ(λ) = λ−(a+b) λ−a +b 1 a −λ b 0 −1 1Question 3. Les valeurs propres de l’endomorphisme f sont pour tout couple (a,b) de r´eelsa ...

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Questionsli´ees:1a`61te71a`04. La calculatrice personnelle est interdite ; le concours fournit une calculatrice.

PARTIE I

SoitEidneedideielcuilrapport´mension4roesnohtua`eabenm´oreeapsenurotcevecB= (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 die`ocsn.)nOehismmorpendorel’f a,b deE´ennesuota`iuqdoorcodeurteectv 2 2 2 (x, y, z, t) dans la baseBsaicosodnne´se(elevecteurdecoora x+aby+abz+abxb t, +a y+ 2 2 2 2 2 b z+abt, abx+b y+a z+xabt, b +aby+abz+a t) dans la baseBu`o,a,b´efixs.r´eslseesdtno Question 1.La matriceM a,b def a,b dans la baseBefiire´v   2 (a+b0 0) 0 2 0 (a+b) 0 0   a)M a,b = 2   0 0 (a+b) 0 2 0 0 0 (a+b) b)M a,b lempcotssxees´etrtsymtea`qieuicneocffie c)M a,b instrsveleibevnitseacelbisrrtoutematricesyme´rtqieu´reellee d)M a,b lanogaidtseexelp.leabistairtumeraotlbceecomriqum´etcesyseaidtanogasil Question 2.oˆemacarLpelonyiquect´eristχ(λ() = det f a,b −λid) de l’endomorphismef a,b tseup,reriec’´id de´signantl’endomorphismeidentite´ 2 1ab ab b 2 2   1a−abλ b 2 a)χ(λ) = (a+b)−λ 2 2 2 2 0b−a+λ a−b−λ0   2 2 0 0 0a−b−λ 1 1 0 0 2 2 2   ab a−λ b−a+λ0 2 b)χ(λ) =λ−(a+b) 2 2 2 ab b a−b−λ0  2 2 2 b ab0a−b−λ 1−1 0     2 2 2 2 c)χ(λ) =λ−(a+b)λ−a+ b ab λ−a−1   2 ab−b1 1ab ab     2 2 2 2 2 d)χ(λ) =λ−(a+b)λ−a+b 1a−λ b  0−1 1 Question 3.Les valeurs propres de l’endomorphismef a,b sont pour tout couple (a, be)d´reesl   2 2 2 2 a) 0, (a+b) , (a−b) ,a−b   2 2 2 2 b) (a+b) , (a−b) ,b−a   2 2 2 c)i|a+b|,−i|a+b|, (a−b) ,a−b d) (a+b), (a−b), (a+b) (a−b) Question 4.L’endomorphismef a,b a) est diagonalisable car ses valeurs propres distinctes sont orthogonales b) est diagonalisable dans une base orthonormale deEdeesvedeetcepsrurpormre´off a,b c)n’estpasdiagonalisablecarsesvaleurspropresnesontpastoutesdemultiplicite´1 d) ne peut admettre 0 comme valeur propre carf a,b est diagonalisable. Question 5.On supppose dans cette questionaoubnul ; l’endomorphismef a,b admet alors

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