ENSAE 2002 mathematiques classe prepa b/l

Description

´E.N.S.A.E. 2002 Math´ematiques (Option Economie)AVERTISSEMENT : II est rappel´e `a tous les candidats que le programme officiel de l’´epreuveest le programme de Math´ematiques des classes pr´eparatoires au concours d’admission du groupe´Sciences sociales (B/L) de la section des lettres de l’Ecole normale sup´erieur`e, dites “Khagnes S”.Toute r´esolution faisant appel `a des r´esultats ne figurant pas explicitement a` ce programme serarejet´ee.Les deux probl`emes sont ind´ependants.PROBLEME 1X 11)a)Pour quelles valeurs de q∈Z la s´erie est-elle convergente?qpp≥12πEn cas de convergence, on note Z(q) sa somme. On admet que Z(2) = .6∗b)D´eterminer trois r´eels a,b,c tels que, pour tout p∈N , on ait :1 a b c= + +2 2p(p+1) p p+1 (p+1)+∞X 1c) Justifier la convergence de la s´erie et calculer la valeur de sa somme S.2p(p+1)p=1∞2)a)Soit f une fonction de classe C sur un intervalle ouvert I deR contenant 0. Prouver parr´ecurrence sur n que : Zn xp nX x (x−t)(p) (n+1)(∀x∈I) (∀n∈N) f(x) = f (0) + f (t)dt (1)p! n!0p=0(p)ou` f d´esigne la d´eriv´ee p-i`eme de f.b)Montrer que, pour tout x≥ 0, on a : n p n+1Xx x x xe − ≤ e (2) p! (n+1)!p=0c) Pour x∈ [0,1[, on pose g(x) = ln(1−x). Calculer la d´eriv´ee p-i`eme de g.x−t´Soit x∈ [0,1[ fix´e. Etudier les variations de la fonction θ(t) = sur l’intervalle [0,x] et1−ten d´eduire que : n p n+1Xx x ln(1−x)+ ≤ (3) p 1−xp=13) Soientp etq deux entiers naturels. On d´esigne parH la ...

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• Publié par: aiolos
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