Escp eap 2003 mathematiques i classe prepa hec (ecs) mathematiques i 2003 classe prepa hec (ecs)

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ESCP-EAP 2003. math 1, option SDans tout le probl`eme, on consid`ere un entier naturel p sup´erieur ou ´egal a` 2. Pour tout entiernaturel q, on note R [X] (resp. C [X] l’espace vectoriel r´eel (resp. complexe) des polynˆomes a`q qcoefficients r´eels (resp. complexes) de degr´e au plus ´egal `a q. On pourra confondre polynˆome etfonction polynomiale associ´ee.On note S (resp. S ) l’espace vectoriel r´eel (resp. complexe) des suites r´eelles (resp. complexes).R CPr´eliminairep p−1On consid`ere la fonction r´eelle f qui `a tout r´eel x positif ou nul associe f(x) =x −x −1.1)a)Donner le tableau de variation de la fonction f .b)En d´eduire les r´esultats suivants :• la fonction f s’annule une seule fois en un r´eel not´e C qui est strictement sup´erieur a` 1.• pour tout r´eel x positif ou nul, le r´eel f(x) est strictement positif si et seulement si x eststrictement sup´erieur `a C.32) Dans le cas particulier ou` l’entier p est ´egal `a 4, comparer C et .2Partie IOn rappelle que sia est un nombre complexe etQ(X) un polynˆome a` coefficients complexes alorsle polynˆome Q(X) est divisible par X −a si et seulement si le complexe Q(a) est nul.1) Soit a un nombre complexe, n un entier naturel au moins ´egal a` 2 et P(X) un polynˆome `anXkcoefficients complexes de degr´e n s’´ecrivant P(X) = α X .kk=0n k−1 X Xk−i−1 i´a) Etablir l’´egalit´e : P(X)−P(a) = (X −a)Q(X) ou` Q(X) = α a X .kk=1 i=02b) En d´eduire que le polynˆome P(X)−P(a) est divisible par (X −a) ...

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ESCP-EAP 2003. math 1, option S

Danstoutleprobl`eme,onconsid`ereunentiernaturelpup´esor´uiruea`.2gelauttourPoertien naturelq, on noteR q [X] (resp.C q [Xl]e’atorielr´spacevecmoc.xelp(leepserˆoyns`medee)olsp coefficientsre´els(resp.complexes)dedegre´auplus´egal`aqteemrnfaucrodprooOnnol.epˆoyn fonctionpolynomialeassoci´ee. On noteS R (resp.S C .elpm)sexlee´rleioc.pser(paesl’)orctvecellse´ree.pocr(sexe)dmpleitesessu Pr´eliminaire p p−1 Onconsid`erelafonctionr´eellefatoutr´equi`lexpositif ou nul associef(x) =x−x−1. 1)a)Donner le tableau de variation de la fonctionf. b)taulesr´anivsuts:stdne´Eleseudri •la fonctionfes’annuleuneseulefioesunrne´leon´tCqustieristemctstnee´puueir1a`r. •eeltu´rruotopxlee´,lerunultifoposif(x) est strictement positif si et seulement sixest strictementsup´erieura`C. 3 2)Dlsnaulicroieasecrtpatienl’`uerpc,4a`lagrerapmo´esteCet . 2 Partie I On rappelle que siaest un nombre complexe etQ(Xelexasolsr`acoefficientscomppnu)nyloemoˆ lepolynoˆmeQ(X) est divisible parX−asi et seulement si le complexeQ(a) est nul. 1)Soitaun nombre complexe,nenunertigal`a2etmuiosne´anuteralP(Xa)unpolynˆome` n X k coefficientscomplexesdedegr´enriecntva’´sP(X) =α k X. k=0 n k−1   X X k−i−1i ´ a)egalrl’´abliEt:tie´P(X)−P(a) = (X−a)Q(Xuo`)Q(X) =α k a X. k=1 i=0 2 b)emoEdne´duirequelepolynˆP(X)−P(a) est divisible par (X−a) siet seulement si le n X k−1 nombre complexekα k aest nul. k=1 ` c)Aqonecllueletnmonesteeasffiuesecirsatidin´onexebrecomplaest-il racine au moins double dupolynˆomeP(X) ? p p−1 2)uqrertnoMˆomeolynelepX−X−1 apracines simples dansCet qu’elles sont toutes nonnulles.Cesracinesserontnot´eesZ 1 , Z 2 , . . . , Z p avec la convention queZ p gelase´ta`C. ´ 3)a)Etablir, pour tout couple (x, y:´eitalegn´’ideno)sel,lpxecsmobmer|x| − |y|6|x−y|. Quand a-t-onl’´egalit´e? ´ b)Etablir, pour tout entierktel que 16k6p:eil´tni’lage´,|Z k |6C. c)Montrer que sikest un entier tel que 16k6peg’´,l´eital|Z k |=Cn’a lieu que sikest´egal `ap. p 4)Soitθl’application deC p−1 [X] dansCexelpmocemˆoynoltpouati`quP(Xed)´eaudegr   p plus´egal`ap−le´’osic1sa´eelntmeZ 1 P(Z 1 ), Z 2 P(Z 2 ), . . . , Z p P(Z p ) deC. a)Montrer que l’applicationθest un isomorphisme. p b)ent(l´emuiedd´En,eoperuqtue´ruotu 1 , u 2 , . . . , u p ) deCunteiqun´eueeml´netli,sixe p (λ 1 , λ 2 , . . . , λ p ) deCv´erifiant  λ 1 Z 1 +λ 2 Z 2 +∙ ∙ ∙+λ p Z p =u 1  2 22 λ Z+λ Z+∙ ∙ ∙+  1 12 2 λ p Z p =u 2 . .. .   p p p λ Z+λ Z+u 1 12 2 ∙ ∙ ∙+λ p Z p = p