ESSEC 2001 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

Description

ESSEC. CONCOURS D’ADMISSION DE 2001´Option scientifique. MATHEMATIQUES IILe but du probl`eme est l’´etude du coefficient de corr´elation lin´eaire de deux variables al´eatoiresqu’on aborde d’abord de fa¸con g´en´erale (partie I), puis dans un cas particulier (partie II).Partie IOn consid`ere deux variables al´eatoires X et Y d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e etadmettant des esp´erances E(X) et E(Y) et des variances V(X) et V(Y) et on suppose V(X)> 0(on rappelle que V(X) = 0 si et seulement si, avec une probabilit´e ´egale a` 1, X est constante).La covariance des deux variables al´eatoires X et Y (que celles-ci soient discr`etes ou a` densit´e) estalors le nombre r´eel d´efini parCov(X,Y) =E[(X−E(X))(Y −E(Y))],ou encoreE(XY)−E(X)E(Y)1) Covariance des variables al´eatoires X et Ya) Exprimer Cov(λX+Y,λX+Y) en fonction deV(λX+Y) et en d´eduire la formule suivantepour tout nombre r´eel λ :2V(λX +Y) =λ V(X)+2λCov(X,Y)+V(Y)2b)En d´eduire que Cov(X,Y) ≤V(X)V(Y).2A quelle condition n´ecessaire et suffisante a-t-on l’´egalit´e Cov(X,Y) =V(X)V(Y)?2) Coefficient de corr´elation lin´eaire des variables al´eatoires X et YOn suppose dans cette question les variancesV(X) etV(Y) deX etY strictement positives.a) Exprimer le coefficient de corr´elation lin´eaire ρ des variables al´eatoires X et Y en fonctionde Cov(X,Y) et des ´ecarts-types σ(X) et σ(Y) des variables al´es X et Y et montrerque ρ appartient a` [−1,+1].Pr´eciser de plus a` quelle condition n´ecessaire ...

Informations

• Publié par: aiolos
• Nombre de lectures: 276
• Langue: Français

Extrait

ESSEC. CONCOURS D’ADMISSION DE 2001 ´ Option scientifique. MATHEMATIQUES II

Lebutduprobl`emeestl’´etudeducoefficientdecorr´elationline´airededeuxvariablesal´eatoires qu’onaborded’aborddefa¸cong´ene´rale(partieI),puisdansuncasparticulier(partieII).

Partie I Onconside`redeuxvariablesal´eatoiresXetYe´deinfipeorabibil´seetssurunmˆemeespac admettantdesesp´erancesE(X) etE(Y) et des variancesV(X) etV(Y) et on supposeV(X)>0 (on rappelle queV(X)=ie0s,1a`elage´abilit´ecuneprobtnisa,evstueelemXest constante). Lacovariancedesdeuxvariablesale´atoiresXetYenadu`soese)t´sit(quees-ccellnedtsiioe`etsirc alorslenombrere´eld´efinipar Cov(X, Y) =E[(X−E(X))(Y−E(Y))],ou encoreE(XY)−E(X)E(Y) 1)seseavcnderaaiCvotoirl´ealesariabXetY a)Exprimer Cov(λX+Y, λX+Y) en fonction deV(λX+Ynavietumrouselduirelaf)etend´e pourtoutnombrere´elλ: 2 V(λX+Y) =λ V(X) + 2λCov(X, Y) +V(Y)   2 b)(Cvond´eEequeduirX, Y)≤V(X)V(Y).   2 Aquelleconditionne´cessaireetsuffisantea-t-onl’e´galit´eCov(X, Y) =V(X)V(Y) ? 2)esaliablsvarredee´ialnnitaoi´rleorectdencieffiCostae´erioXetY On suppose dans cette question les variancesV(X) etV(Y) deXetYstrictement positives. a)airexErpmienciectdleerefficolnoie´ni´rrotaleρablevaridesriseaeotas´lXetYen fonction de Cov(X, Yt-pysestrace´sedte)σ(X) etσ(Yiotaser)desvariablesal´eXetYet montrer queρ[tna`paapiert−1,+1]. Pre´ciserdeplusa`quelleconditionne´cessaireetsuffisanteρ`aalesegt´−1 ou +1. b)Donner la valeur deρesiras´laeotavirbaelrsquelesloXetY.setnadneped´inntso 2 c)On suppose enfin queXlaceonmrleiotinurtnseuree´ude´etiN(0,1) et queY=X. Pr´eciserlesespe´rancesetlesvariancesdeXetYainsi que la covariance et le coefficient de corr´elationdeXetYniostlar´lorsiera.Etudqaeudeleoruqcepi2)b). Partie II 1)siminairele´rpsluclaC a)atsnelurenesertisOnconuenxmorbis`dredeqetntels quen≥q. Enraisonnantparr´ecurrencesurnlrilbateelumrofateanivsu,´: n X q q+1 C =C k n+1 k=q b)En faisantq= 1,2,iudenuerpxeessernfiotoacs´rideee:setnaivsuesmmsoi3s,reonsdt´ n nn X XX k;k(k−1) ;k(k−1)(k−2) k=1k=2k=3 Onconside`redanstoutelasuitedecettepartiedeuxnombresentierspetntels que 1≤p≤n et une urne contenantnjumsnonet´tsee´oraed`1nraitnexttteudeceO.tsenrlumi´natneme et au hasardporspar:tojesnteno´dsegienla •Xqiautnellplsauveapriitableal´eatoireindestdm´nuosersdepotejitsnse´r. •Ydnqiriieellpautniablavareatoeal´sedsolddangruserm´nuespej´ritsnotse. On noteE(X),V(X) etE(Y),V(Y)lessioere´taselaarsvblianciadeesesecravt´psenareX etY.