Exercices pour le bac S

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Exercices pour le bac S Octobre 2003 Exercice no 1 (enseignement obligatoire) On considére 7 boules numérotées de 1 à 7. 1. On en tire simultanément 3. Combien y a-t-il de tirages possibles ? 2. Soit k un entier vérifiant 3 6 k 6 7. Combien y a-t-il de tirages de 3 boules dont le plus grand numéro est k ? 3. En déduire une expression de 7∑ k=3 ( x?1 2 ) sous forme d'un unique coefficient binomial. Exercice no 2 (enseignement obligatoire) Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, ??ı , ??? ). 1. On désigne par C la courbe représentative de la fonction exponentielle x 7? ex . Pour tout point M d'abscisse t appartenant à C , on considère le point P de coordonnées (t , 0) et le point N , point d'intersection de la tangente en M à C avec l'axe des abscisses. Montrer que la distance PN est constante. N M P 2. Soit f une fonction définie sur R, strictement positive, dérivable et dont la dérivée est strictement positive. Pour tout point M d'abscisse t appartenant à la courbe représentative de f , on considère le point P de coordonnées (t , 0) et le point N , point d'intersection de la tangente en M à la courbe représentative de f avec l'axe des abscisses.

• allure de la courbe


• droites de représentations paramétriques respectives


• courbes ?


• point de ? d'abscisse


• ?t ?

Sujets

• bac
• bac s

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 octobre 2003
• Nombre de lectures: 50
• Langue: Français

Extrait

ExercicespourlebacS
Octobre2003
oExercicen 1(enseignementobligatoire)
Onconsidére7boulesnumérotéesde1à7.
1. Onentiresimultanément 3.Combienya-t-ildetiragespossibles?
2. Soit k un entier vérifiant 36 k6 7. Combien y a-t-il de tirages de 3 boules
dontleplusgrandnuméroestk?
? !
7X x?1
3. En déduire une expression de sous forme d’un unique coefficient
2k?3
binomial.
oExercicen 2(enseignementobligatoire) ? ?!? !?
Leplanestrapportéàunrepèreorthonormal O, ı , | .
1. OndésigneparC lacourbereprésentativedelafonctionexponentielle
xx7!e .PourtoutpointM d’abscisset appartenantàC,onconsidèrelepoint
P de coordonnées (t, 0) et le point N, point d’intersection de la tangente en
M àC avecl’axedesabscisses.
MontrerqueladistancePN estconstante.
M
N P
2. Soit f une fonction définie sur R, strictement positive, dérivable et dont la
dérivéeeststrictementpositive.PourtoutpointM d’abscisset appartenantà
lacourbereprésentativede f,onconsidèrelepointP decoordonnées(t, 0)et
lepointN,pointd’intersectiondelatangenteenM àlacourbereprésentative
de f avecl’axedesabscisses.
0a. CalculerladistancePN enfonctionde f(t)etde f (t).
b. Déterminerlesfonctions f pourlesquellesladistancePN estconstante.ExercicespourlebaccalauréatS
oExercicen 3(enseignementobligatoire)
Àchaquequestionestaffectéuncertainnombredepoints.Pourchaquequestion,une
réponseexacte rapportele nombre de pointsaffectés;une réponse inexacte enlève la
moitié du nombre de points affectés. Le candidat peut décider de ne pas répondre à
certainesde ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n’en enlèvent
aucun.Siletotalestnégatif,lanoteestramenéeàà0.
Pourchaquequestion,uneseuledes4propositionsestexacte.
1. Soitz2Cverifiantz?jzj?6?2i.Écrirez sousformealgébrique.
8 8 8 8
?2i ?2i ?2i ? ?2i
3 3 3 3
2. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z ? x?iy vérifiant
jz?1j?jz?ijestladroited’équation:
y?x?1 y??x y??x?1 y?x
? p ?n
3. 2?2i 3 2Rsietseulementsin s’écritsouslaforme(oùk2N):
3k?1 3k?2 3k 6k
6?z
4. Soitl’équation(E):z? (z2C).Unesolutionde(E)est:
3?zp p
?2?i 2i 2?i 2 1?i ?1?i
p
5. Soit deux points A et B d’affixes respectives z ?i et z ? 3 dans un repèreA B? ?!? !?
orthonormal O, ı , | . L’ affixe z du point C tel que ABC soit un triangleC? ??! ?! ?
équilatéralavec AB, AC ? est:
3p p
?i 2i 3?i 3?2i
6. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z ? x?iy vérifiant? ?
z?2 ?
arg ? estinclusdans:
z?2i 2
Ladroited’équation y??x
p
LecercledecentreI(1?i)etderayonR= 2
Ladroited’équation y?x
Lecercledediamètre[AB],AetBétantlespointsd’affixesrespectives
z ??2etz ?2i.A B
2003 2ExercicespourlebaccalauréatS
oExercicen 4(enseignementobligatoire)
Soit f la fonction définie sur l’intervalle 1p
[0; 1] par f(x)?x?2 x?1. Cette fonc-
0tionestdérivablesur[0;1]etsadérivée f
0vérifie f (1)?0.Lacourbereprésentative
Γ de la fonction f dans un repère ortho-
normalestdonnéeci-contre.
1.a.Montrerque lepoint M decoordon-
nées (x, y)appartient àΓ si et seulement
p p
six>0, y>0et x? y?1.
b. Montrer queΓ est symétrique par rap-
portààladroited’équation y?x. O 1
2.a.SiΓétaitunarcdecercle,quelseraitsoncentre?Quelseraitsonrayon?
b.LacourbeΓest-elleunarcdecercle?
oExercicen 5(enseignementobligatoire)
Le plan est rapporté à un repère or-
? ?!? !?thonormal O, ı , | . On note Φ et
Γ les courbes représentatives respec-
tives des fonctions exponentielle et
logarithmenépérien. A
SoitAlepointdeΦd’abscisse0etBle
pointdeΓd’abscisse1.
B
1. a. Écrire les équations de la tan-
genteDàlacourbeΦaupointAetde
latangenteΔàlacourbeΓaupointB.
b.MontrerquelesdroitesΔetΓsont
parallèles.
Quelleestleurdistance?
2.a.DémontrerquelacourbeΦestsituéeentièrement«au-dessus»deD.
b.DémontrerquelacourbeΓestsituéeentièrement«au-dessous»deA.
c.OndésigneparM unpointquelconquedeΦetparN unpointquelconquedeΓ.p
ExpliquerpourquoiMN> 2.
2003 3ExercicespourlebaccalauréatS
oExercicen 6(enseignementobligatoire)
? ?!? !?Leplanestrapportéàunrepèreorthonormal O, ı , | .
Soit f lafonctiondéfiniesurRpar:
1 2x xf(x)? e ?2,1e ?1,1x?1,6
2
1. Faites apparaître sur l’écran de votre calculatrice graphique la courbe repré-
sentativedecettefonctiondanslafenêtre?56x64, ?46y64.
Reproduirel’alluredelacourbeobtenuesurvotrecopie.
2. D’aprèscettereprésentationgraphique,quepourrait-onconjecturer:
a. Surlesvariationsdelafonction f ?
b. Surlenombredesolutionsdel’équation f(x)?0?
3. Onseproposemaintenantd’étudierlafonction f.
2x xa. RésoudredansRl’inéquatione ?2,1e ?1,1>0(onpourraposer
xX ?e ).
b. Étudierlesvariationsdelafonction f.
c. Déduiredecetteétudelenombredesolutionsdel’équation f(x)?0.
4. Onveutreprésenter,surl’écrand’unecalculatrice,lacourbereprésentativede
la fonction f sur l’intervalle [?0,05 ; 0,15], de façon à visualiser les résultats
delaquestion3.
Quellesvaleursextrêmesdel’ordonnée y peut-onchoisirpourlafenêtredela
calculatrice?
oExercicen 7(enseignementobligatoire)
NB : Les quatre propositions peuvent Íêtre examinées indépendamment les unes
desautres.
Onconsidèreunesuite(u )positiveetlasuite(v )définieparn n
un
v ? .n
1?un
Lespropositionssuivantessont-ellesvraiesoufausses?
Justifierdanschaquecas.
1. Lasuite(v )estbornéepar0et1.n
2. Silasuite u estconvergente,alorslasuite v estconvergente.( ) ( )n n
3. Silasuite(u )estcroissante,alorslasuite(v )estcroissante.n n
4. Silasuite(v )estconvergente,alorslasuite(u )estconvergente.n n
2003 4ExercicespourlebaccalauréatS
oExercicen 8(enseignementobligatoire)
Danscetexercice,lesquestionssontindépendantes.
Pour chaque question, une seule destrois propositionsa), b)ou c)est exacte.On de-
manded’indiquerlaquellesansjustification.
Àchaquequestionestaffectéuncertainnombredepoints.Pourchaquequestion,une
réponseexacte rapportele nombre de pointsaffectés;une réponse inexacte enlève la
moitiédunombredepointsaffectés.
Lecandidatpeutdéciderdenepasrépondreàcertainesdecesquestions.Cesquestions
nerapportentaucunpointetn’enenlèventaucun.
Siletotalestnégatif,lanoteestramenéeà0. ? ?!?!? !?
L’espaceestrapportéàunrepèreorthonormal O, ı , | , k .
??! ??!
1. L’ensembledespoints M del’espacetelsquekMAk?kMBkest:
a) l’ensemblevide b) unplan c) unesphère
2. OnconsidèrelespointsA(0;1;?2)etB(2;1;0).
LescoordonnéesdubarycentreG de(A;1)et(B;3)sont:
a) G(6;4;-2) b) G(1,5;1;-0,5) c) G(0,5;1;1,5)
3. Ladroited apourreprésentationparamétriquex?2?t ; y?3t ; z??3, t2R.
OnconsidèrelespointsA(2;3;?3),B(2;0;?3)etC(0;6;0).Ona:
a) d =(AB) b) d =(BC) c) d6?(AB)etd6?(BC)etd6?(CA)
4. Lesdroitesdereprésentationsparamétriquesrespectives:
8 8
0x ? 2?t x ? ?t< <
0y ? 1?t y ? 2?1,5t admettent comme point
: : 0 0z ? 1?t,t2R, z ? 3?t , t 2R
commun:
a) I(3;0;2) b) J(2;1;1) c) K(0;2;?3)
5. Lesdroitesdereprésentationsparamétriquesrespectives:
8 8 0x ? 1 x ? 3?2t< <
0 0y ? 1?2t t2R y ? 7?4t t 2R
: : 0z ? 1?t,, z ? 2?t ,
sont:
a) parallèles b) sécantes c) noncoplanaires
6. Ladroitedereprésentationparamétriquex??4t ; y?1?3t ; z?2?2t, t2R
etlepland’équation x?2y?5z?1?0sont:
a) orthogonaux b) parallèles c) niorthogonauxniparallèles
7. L’ensembledespointstelsquex?y?2z?1?0et?2x?4y?4z?1?0est:
a) l’ensemblevide b) unedroite c) unplan
2003 5ExercicespourlebaccalauréatS
oExercicen 9(enseignementobligatoire)
1. Étudierlesvariationsdelafonction f définiesurRpar f(x)?cosx?x.
Endéduirequel’équationcosx?x?0auneuniquesolution.Endonnerune
?3valeurapprochéeàà10 près.
x
2. Onconsidèrel’équation(E)sinx? ?0, x2R.
2
a. Montrerquetouteslessolutions decetteéquationappartiennent àl’in-
tervalle[?2; 2].
b. Donner,enlejustifiant,lenombredesolutionsdel’équation(E).
?3c. Donnerune valeurapprochée,à10 prèspardéfaut,delaplus grande
solution.
oExercicen 10(spécialité)
L’exerciceproposecinqaffirmationsnumérotéesde1à5.
Pourchacunedecesaffirmations,diresielleestvraieousielleestfausse,enjustifiant
lechoixeffectué.
1. Siunnombreestdivisiblepar4,alorsilestdivisiblepar8.
2. Siunnombreestdivisiblepar2etpar3,alorsilestdivisiblepar6.
3. Siunnombreestdivisiblepar4etpar6,alorsilestdivisiblepar24.
4. Si deux entiers a et b sont premiers entre eux, les entiers a?b et a?b sont
nécessairementpremiersentreeux.
5. Sideuxentiersaetb sontpremiersentreeux,lesentie