FESIC Mathematiques 2003

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FESIC Mathematiques 2003

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• Publié par: porthos
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! ! Concours d’entr´ee FESIC Exercice 1 On consid`ere la fonction f d´ efinie sur R et repr´esent´ee par la courbe ci-dessous: 6 5 4 [ [[[[[ 3 2 1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 a) f est d´erivable au point d’abscisse x = –2. b) f est continue au point d’abscisse x=1. c) limf(x)=4. x→2 d) Sur l’intervalle ]–2 ; 1[, la fonction f,d´eriv´ee de f sur cet intervalle, est croissante. Exercice 2 xe − 1 On consid`ere la fonction f d´ efinie par: f(x)=ln =1. xe +1 On d´esigne parD l’ensemble de d´efinition de f. a) On aD =]0 ;+∞[. x2e b) f est d´erivable surD et, pour tout x∈D,f(x)= . 2xe − 1 c) Pour tout x∈D,f(x) < 0. e+1 d) L’´equation f(x)=–1poss`ede l’unique solution x=ln . e− 1! Z ! ! Z ! Z ! Concours FESIC 2003 2 Exercice 3 →− →−Le plan est muni d’un rep`ere orthonormal (O, ı,  ). Soit f la fonction d´efinie surR par: –xf(x)=–(1+x)e . On appelleC la courbe repr´esentative de f dans le rep`ere cit´e. a) f r´ealise une bijection deR dansR. –xb) La fonction F,d´efinie surR par: F(x)=(x+2)e , est une primitive de f surR. c) Soit t ∈ R . L’aire du domaine plan limit´eparlacourbeC et les+ droites d’´equations x=0,x= t et y = 0 se calcule, en unit´es d’aires, par: t f(x)dx. 0 d) L’aire d´efinie `alaquestionc) est finie quand t tend vers +∞. Exercice 4 n1 t Pour tout n∈N,onposeI = dt.n 20 1+t a) I =ln2.1 ∗b) Pour tout n∈N ,ona:I
0.n 1 1 ∗c) Pour tout n∈N ,ona:  I  .n 2(n+1) n+1 ∗d) La suite (I ) est croissante.n n∈N Exercice 5 n 2lnt Pour tout entier naturel n non nul, on pose: I = dt.n n−1 t ∗a) Pour n∈N,I =2n–1.n b) La suite (I ) est born´ee. ∗n n∈N In c) La suite est convergente. n ∗n∈N ∗ 2d) Pour n∈N ,ona:I+I +···+I = n .1 2 n Exercice 6 a) 17 + 20 + 23 +···+ 62 = 632. 4 5 6 10 1 1 1 1 1 127 b) + + +···+ = × . 2 2 2 2 8 128Concours FESIC 2003 3 ∗c) Soit n ∈ N .Onconsid`ere la fonction f d´ efinie sur ]1 ; +∞[par: n+11−x f(x)= . f est d´erivable sur ]1 ; +∞[etpourtoutx>1, on a: 1−x  2 3 n–1f (x)=1+2x+3x +4x +···+nx . d) Si une suite n’est pas arithm´etique, alors elle est g´eom´etrique. Exercice 7 On consid`ere les suites (u )et( v )d´efinies surN par:n n 1 1 1 1 u =1+ + +···+,v = u −1+ .n n n 1! 2! n! n! a) Pour n ∈ N,u est la somme des n premiers termes d’une suiten 1 g´ eom´etrique de premier terme 1 et de raison . n+1 b) La suite (u )estd´ecroissante.n c) La suite (v )estcroissante.n d)Lessuites(u )et( v )sontadjacentes.n n Exercice 8 Dans le plan complexe, on consid`ere les points M et M d’affixes respec- tives z et z telles que: z = zz+(1+i)z+3z− 2.     On pose z = x+iy et z = x +iy,avecx, y, x et y r´eels.  2 2 a) x = x +y +4x–y–2 et y = x–2y. b) L’ensemble E des points M tels que z soit r´eel est une droite.1 c) L’ensemble E des points M tels que z soit imaginaire est un cercle.2 d) E et E ne sont pas s´ecants.1 2 Exercice 9 Dans le plan complexe, on consid`ere le point d’affixe 1, puis le cercle Γ de centre et de rayon 2, et enfin les points A, B, C et D d’affixes respectives z ,z,z et z ,ou:`A B C D √ z =1+2i,z =1+ 3+i,z = z ,z = z .A B C B D A √z −zD B a) = 3. z −zA B Ω Ω ! Š ! € Concours FESIC 2003 4 π b) D est l’image de A par la rotation de centre B et d’angle . 2 c) Les points A, B, C et D appartiennent au mˆeme cercle Γ. 2d) Soit θ∈R.Onconsid`ere l’´equation:z –2(1+2cosθ)z+5+4cosθ=0. Les solutions de cette ´equation sont les affixes de deux points qui appar- tiennent tous les deux au cercle Γ. Exercice 10 Le plan complexe a pour origine O. Soit M le point dont l’affixe a pour 5π module 1 et pour argument . 6 π On appelle r la rotation de centre O et d’angle et on appelle h l’ho- 3 moth´etie de centre O et de rapport –3. 3. 6 5π 5π a) On a: cos +isin =−1. 6 6 b) L’image de M par la rotation r est le point M de coordonn´ees1 √ 3 1 ; . 2 2 c) L’image de M par l’homoth´etie h est le point M dont nl’affixe a pour2 5π module –3 et pour argument . 6 3d) r (M)=r◦r◦r(M)estlepoint M ,sym´etrique de M par rapport `a3 O. Exercice 11 Soit x∈R.Onconsid`ere la suite g´eom´etrique (u (x)) de premier termen n –xu (x)=1etderaisonq = 1–2e .0 –x 6a) Dans le d´eveloppement de u (x)=(1–2e ) , le terme correspondant6 –4x –4x`ae est 240e . b) Pour x fix´esup´erieur `a 1, on a: lim u (x)=0.n n→+∞ c) Pour un entier naturel n fix´e, on a: lim u (x)=0.n x→+∞ d) Un lanceur s’exerce `a tirer sur une cible situ´ee `aladistancex (x en –xm` etres, x
1). La probabilit´e qu’il atteigne sa cible est p=2e . Le lanceur tire n fois vers la cible de fa¸ cons suppos´ees ind´ependantes. La probabilit´e que ce lanceur atteigne k fois exactement la cible (k ´etant n kn−kun entier compris entre 0 et n)est ×u (x)× (1−u (x)) .11kConcours FESIC 2003 5 Exercice 12 On note x(t)lenombred’atomesderadiumd’unesubstanceradioactive pr´esents `a l’instant t (exprim´eenann´ees)danscettesubstance,etonadmet que la vitesse d’´elimination x (t)est proportionnelle `a x(t):ilexistedonc une constante r´eelle k, telle que x (t)=kx(t). On appelle x le nombre d’atomes pr´esents `a l’instant t=0.0 a) Le nombre d’atomes diminue quand t augmente, donc k est n´egatif. kt`b) A chaque instant t,ona:x(t)=x e .0 c) On note T la p´eriode (ou demi-vie ),c’est-a-`dire le nombre d’ann´ees pour lequel le nombre d’atomes a diminu´edemoiti´e par rapport `a l’instant initial t=0. − ln2 On a T = . k d) A l’instant t=3T,ilrestelesixi`eme des atomes dans la substance. Exercice 13 La dur´ee en ann´ees du bon fonctionnement d’un composant ´electronique est mod´elis´ee par une variable al´eatoire de loi exponentielle. Des tests garan- tissent une dur´ee moyenne de 10 ans. a) Le param`etre de la loi exponentielle est 10. b) La probabilit´e pour que l’un de ces composants fonctionne correcte- 1 ment moins de 10 ans est 1− . e c) La probabilit´e pour que l’un de ces composants fonctionne pendant au –2moins 10 ann´ees est e . d) La probabilit´e pour que l’un de ces composants fonctionne entre 10 et –1 –1,5e − e 15 ann´ees est . –11− e Exercice 14 60% des candidats au concours de la FESIC sont des filles. Parmi elles, 30% ont suivi l’enseignement de sp´ecialit´edeMath´ematiques en terminale. Par ailleurs, 20% des candidats sont des gar¸ cons qui ont suivi l’enseignement de sp´ecialit´edeMath´ematiques en terminale. a) On interroge un candidat au hasard. La probabilit´e que ce soit une fille qui ait suivi l’enseignement de sp´ecialit´edeMath´ematiques en terminale est de 30%. ✮✮ ✭✭> 8  > > <  > > : :  <  8 : < > 8 Concours FESIC 2003 6 b) On interroge un gar¸ con qui est candidat. La probabilit´e qu’il ait suivi l’enseignement de sp´ecialit´edeMath´ematiques en terminale est de 20%. c) 38% des candidats ont suivi l’enseignement de sp´ecialit´edeMath´ematiques en terminale. d) On interroge un candidat qui a suivi l’enseignement de sp´ecialit´ede 9 Math´ematiques en terminale. La probabilit´e qu’il s’agisse d’une fille est . 19 Exercice 15 →− →− −→L’espace est rapport´e`aunrep`ere orthonormal O, ı,,k . On consid`ere les droitesD etD donn´ees par les ´equations param´etr´ees sui- vantes : x =2 t− 1 x =3 t  D y = −3t+2,t∈R D y = t+2,t∈R z = t z =3 t− 2 a)D etD sont orthogonales. b) On trouvera les points d’intersection ´eventuels entreD etD en r´esolvant le syst`eme: 2t−1=3t −3t+2 = t+2 t =3 t+2 c) Le plan normal `aD passant par O a pour ´equation: 2x–3y +z =0. d)D est parall`ele `a tout plan normal `aD. Exercice 16 −→ −→ →−L’espace est rapport´e`aunrep`ere orthonormal O, ı,,k . On consid`ere les points A(0 ; 4 ; –1), B(–2 ; 4 ; –5), C(1 ; 1 ; –5), D(1;0;–4) et E(2 ; 2 ; –1). a) Une ´equationduplan(ABC)est:2 x+2y–z–9 = 0. b) Le point E est le projet´e orthogonal de D sur (ABC). c)Lesdroites(AB)et(CD)sontorthogonales. d) Lepoint(–1; 2; –3)est lecentred’une sph` ere passant par A, B, CetD. Ω