HEC 2000 mathematiques ii classe prepa b/l

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION Lettre et Sciences Sociales (BL)MATHEMATIQUES IIAnnØe 2000La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.Ce problŁme Øtudie deux suites de variables alØatoires discrŁtes. Il se compose de quatre parties.Si le candidat ne parvient pas à Øtablir un rØsultat demandØ, il inl diquera clairement, et il pourra pour la suiteadmettre ce rØsultat.Dans tout le problŁme, n dØsigne un entier naturel non nul.On considŁre une urne U contenant n boules numØrotØes de 1 à n:nOn tire une boule au hasard dans U . On note k le numØro de cette boule.nSi k est Øgal à 1, on arrŒte les tirages.Si k est supØrieur ou Øgal à 2, on enlŁve de ul rne U , les boules numØrotØes de k à n (il reste donc les boulesnnumØrotØes de 1 à k 1), et on e⁄ectue à nouveau un tirage dans l urne.On rØpŁte ces tirages jusqu’à l obtention de la ...

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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION Lettre et Sciences Sociales (BL) MATHEMATIQUES II Année 2000

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Ce problème étudie deux suites de variables aléatoires discrètes.Il se compose de quatre parties. Si le candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite admettre ce résultat.

Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul.

On considère une urneU n contenantnboules numérotées de 1 àn: On tire une boule au hasard dansU n . Onnotekle numéro de cette boule. Sikest égal à 1, on arrête les tirages. Sikest supérieur ou égal à 2, on enlève de lurneU n , les boules numérotées dekàn(il reste donc les boules numérotées de 1 àk1), et on e¤ectue à nouveau un tirage dans lurne. On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro 1. On noteX n la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour lobtention de la boule numéro 1. On noteY n la variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées. On noteE(X n )etV(X n )(respectivementE(Y n )etV(Y n )lespérance et la variance deX n (respectivementY n )

Partie 1. n P 11 1 1. Onpose :h n 1 ++= =  +. k2n k=1

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