HEC 2000 mathematiques ii classe prepa hec (eco)

Description

CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIAnnØe 2000La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.Ce problŁme se compose de cinq parties : il Øtudie deux suites de variables alØatoires discrŁtes et une simulationinformatique. Si le candidat ne parvient pas à Øtablir un rØsultat demandØ, il l indiquera clairement, et il pourrapour la suite ,admettre ce rØsultat.Dans tout le problŁme, n dØsigne un entier naturel non nul.On considŁre une urne U contenant n boules numØrotØes de 1 à n. On tire une boule au hasard dans U . Onn nnote k le numØro de cette boule. Si k est Øgal à 1, on arrŒte les tirages. Si k est supØrieur ou Øgal à 2, on enlŁve deul rne U les boules numØrotØes de k à n (il reste donc les boules numØrotØes de 1 à k 1), et on e⁄ectue à nouveaunun tirage dans l’urne. On rØpŁte ces tirages jusqu’à l obtention ...

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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 2000

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Ce problème se compose de cinq parties :il étudie deux suites de variables aléatoires discrètes et une simulation informatique. Sile candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite ,admettre ce résultat. Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul. On considère une urneU n contenantnboules numérotées de1àntire une boule au hasard dans. OnU n . On notekle numéro de cette boule.Sikest égal à1Si, on arrête les tirages.kest supérieur ou égal à2, on enlève de lurneU n les boules numérotées dekàn(il reste donc les boules numérotées de1àk1), et on e¤ectue à nouveau un tirage dans lurne.On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro1note. OnX n la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour lobtention de la boule numéro1note. OnY n la variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées.On noteE(X n )etV(X n )(respectivementE(Y n )et V(Y n )) lespérance et la variance deX n (respectivementY n ).

Partie 1. n P 1 11 1. Onpose :h n = =1 ++:::::+ k2n k=1 (a) Montrer,pour tout entier naturelknon nul, les inégalités : 1 1 6ln(k+ 1)lnk6 k+ 1k oùlndésigne le logarithme népérien. (b) Endéduire les inégalités :ln(n+ 1)6h n 61 + lnn

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