CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION Lettre et Sciences Sociales (BL) MATHEMATIQUES I Année 2001
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
On dispose denjetons numérotés de 1 àn,nOn tire, au hasardétant un entier strictement supérieur à 1. et sans remise, les jetons un à un.La suite(a1;a2;:::;an)des numéros tirés est aussi appelée permutation de lensemblef1; 2;:::;ng. Étant donné deux entiersketpvériant1< k < p < n, la suite(ak;:::;ap)se réduisant à (ak) dans le cas où kest égal àp, est appelée sous-suite de(a1;a2;:::;an)et son nombre déléments est appelé longueur de cette sous-suite. On admettra que cette expérience aléatoire peut être modélisée par la donnée de lunivers, ensemble des permutations def1; 2;:::;ng, muni de la tribu de ses parties()et de la probabilité uniformeP, ce qui signie 1 que, pour toute permutation!def1; 2;:::;ng, on a :P(f!g) =. n! SiXest une variable aléatoire dénie sur(; ();P), on noteE(X)son espérance etV(X)sa variance. SiXetYsont deux variables aléatoires dénies sur(; ();P), on noteCov(X;Y)leur covariance.
Préliminaire SoitXune variable aléatoire prenant ses valeurs dansf1; 2;:::;mgoùmest un entier strictement supérieur à 1. m P Montrer légalité :E(X) =P([X>k]). k=1