HEC 2003 mathematiques ii classe prepa hec (eco)

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´ ´ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES´OPTION ECONOMIQUE´MATHEMATIQUES IIMardi 13 mai 2003, de 8h `a 12h.La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.L’objet du probl`eme est l’´etude de la rentabilit´e du « surbooking» pour une compagnie a´erienne.Partie I : Expression de l’esp´erance du chiffre d’affaireDans cette partie,n est un entier naturel non nul,N un entier sup´erieur ou´egal `a 2, etp un r´eel strictementcompris entre 0 et 1.Unecompagniea´erienneavendunbilletsa`centeurospourlevol714quipeutaccueillirjusqu’`aN passagers.La probabilit´e pour qu’un acheteur se pr´esente `a l’embarquement est p et les comportements des acheteurssont suppos´es ind´ependants les uns des autres.Un acheteur qui ne se pr´esente pas a` l’embarquement est rembours´e a` 80%, tandis qu’un acheteur qui sepr´esente `a l’embarquement mais n’obtient pas de place, le vol ´etant d´eja` complet, est rembours´e `a 200%.Soit X la variable al´eatoire d´esignant le nombre d’acheteurs d’un billet se pr´esentant `a l’embarquement,soitY la variable al´eatoire ...

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Extrait

´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

´ OPTION ECONOMIQUE

´ MATHEMATIQUES II

Mardi13mai2003,de8h`a12h.

Lapre´sentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualit´edelar´edaction,laclarte´etlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´sa`encadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel e´lectroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’uner`eglegradue´eestautoris´ee.

L’objetduprobl`emeestl’e´tudedelarentabilit´edu«surbooking»mpagniea´eriennep.ocenuruo

PartieI:Expressiondel’esp´eranceduchiffred’affaire

Dans cette partie,nest un entier naturel non nul,Nnenuouurieerp´suertie,te´ag`l2apnu´rtementeelstric compris entre 0 et 1. Unecompagniea´erienneavenduniellcaucqs’uriujol71rlevpeut4quitneca`stuopsorue`aleilbNpassagers. Laprobabilite´pourqu’unacheteursepre´sente`al’embarquementestpet les comportements des acheteurs sontsuppose´sind´ependantslesunsdesautres. Unacheteurquinesepre´sentepas`al’embarquementestrembours´e`a80%,tandisqu’unacheteurquise pre´sentea`l’embarquementmaisn’obtientpasdeplace,levole´tantd´eja`complet,estrembourse´a`200%. SoitXlielu’bn´rsestpent`aentabarql’em,tnemeualvariableal´eatoi´dergisetnanonelrembacd’tehesdur soitYismantmeavalalleabrireoiat´eruetu’ds’derehcalentmbnoesd´naigmeabqreuattna`’lepr´esennbillets n’obtenant pas de place et soitGmeltatnonetnngnae´isrideaeoteal´iablavarlcentainesd’euros du chiffre d’affairedelacompagniesurlevolconsid´ere´. Onsupposecesvariablesale´atoiresde´finiessurlemeˆmeespacedeprobabilit´e(Ω,A,P). 1.Quelle est la loi deX?Dnare´psenosrennoriance.ceetsava 2.ntmet´ou´eelrep,uotrP´rcesiωde Ω, la valeur deY(ω) en fonction deNet deX(ω), en distinguant les casX(ω)> NetX(ω)6N. ´ 3.Ecrire l’expression deGen fonction den, X, Y. 4.On suppose, dans cette question seulement, quenlage´uorueire´fnties`aN. Calculeralorsl’espe´ranceE(Gotaeeriblial´eael)daravG. Lacompagniecherchealorsa`e´valuerlaprobabilite´P([X>Nvosa`aetnolesiirbmer)]narureˆuteiapt choisidefa¸cona`optimisersonchiffred’affaire.

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