HEC 2004 concours Maths 2 BL

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HEC 2004 concours Maths 2 BL

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• Publié par: porthos
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• Langue: Français

Extrait

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES MATH II BL

L’objetduprobl`emeestl’´etude,surunexemple,d’unparadoxeconcernantlestempsd’attentedecertaines configurations dans un jeu de✭pile ou face✮. Onconside`redoncunesuiteinfiniedelancersd’unepie`ce´equilibre´e,c’est-`a-direpourlaquelle,`achaque lancer, les apparitions de✭pile✮et de✭face✮sno´tqeabobpruis.le Onadmetquel’expe´rienceestmod´elis´eeparunespaceprobabilise´(Ω,A,P). Pour tout entier naturel non nulnaro,dn´esignepR n l’´etnemene´v✭ernclaauıtaˆarppaelipgnedarn✮et parS n temenv´enl’´e✭face apparaˆıt au lancer de rangn✮

PartieI:Unr´esultatutile ∗ Onconside`reunevariableal´eatoireXΩr(de´nfieius,A,P), prenant ses valeurs dansNet, pour tout entier naturel non nuln, on pose :a n =P([X=n]). +∞ X n Ond´esigneparf0[eoidne´nfilfanotcntervalliesurl’i,1] par :∀x∈[0,1], f(x) =a n x. n=1 +∞ X 1.que la suite (a) Justifiera n ) n>1 ´reerbseisitslopnesuestuenomitedtoufslsnuerv´anifia n = 1. n=1 b)Montrerque,pourtoutnombrere´elx[0leaalrpvpetni’la`tnanetra,s´la],1erale´´nmrgeedetreei n a n xest convergente. 2.Dans cette question, on suppose que la fonctionfreillveavb´leeraupeositndt´1e;fiideno:c f(1)−f(x) 0 lim =f(1) 1−x x→1 x<1  ! +∞n−1 X X f(1)−f(x) k ´ a)Etablirpourtoutnombrer´eelxde l’intervalle [0,e:t´liga´el’1[=a n x. 1−x n=1 k=0 f(1)−f(x) b)End´eduirequelafonctionx7→est croissante sur [0,tuotru[1tellevqu’efiepo´eri 1−x f(1)−f(x) 0 nombrere´elxde l’intervalle [0,etna0:sse´tvius´einliga1es[l6 6f(1). 1−x N X 0 c) Montrerque, pour tout entier naturelN0non nul, on a :6na n 6f(1). n=1 End´eduirequelase´riedetermege´n´eralna n est convergente.

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