HEC 2004 mathematiques i classe prepa b/l

Description

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESMATHIIBLL’objet du probl`eme est l’´etude, sur un exemple, d’un paradoxe concernant les temps d’attente de certainesconfigurations dans un jeu de (( pile ou face )).On consid`ere donc une suite infinie de lancers d’une pi`ece ´equilibr´ee, c’est-`a-dire pour laquelle, a` chaquelancer, les apparitions de ( pile ) et de ( face ) sont ´equiprobables.On admet que l’exp´erience est mod´elis´ee par un espace probabilis´e (Ω,A,P).Pour tout entier naturel non nul n, on d´esigne par R l’´ev´enement ( pile apparaˆıt au lancer de rang n ) etnpar S l’´ev´enement ( face apparaˆıt au lancer de rang n )nPartie I : Un r´esultat utile∗On consid`ere une variable al´eatoire X d´efinie sur (Ω,A,P), prenant ses valeurs dansN et, pour tout entiernaturel non nul n, on pose : a = P([X =n]).n+∞XnOn d´esigne par f la fonction d´efinie sur l’intervalle [0,1] par : ∀x∈ [0,1], f(x) = a x .nn=1+∞X1. a) Justifier que la suite (a ) est une suite de nombres r´eels positifs ou nuls v´erifiant a = 1.n n>1 nn=1b) Montrer que, pour tout nombre r´eel x appartenant `a l’intervalle [0,1], la s´erie de terme g´en´eralna x est convergente.n2. Dans cette question, on suppose que la fonction f est d´erivable au point 1; elle v´erifie donc :f(1)−f(x) 0lim =f (1)x→1 1−xx<1 !+∞ n−1X Xf(1)−f(x) k´a) Etablir pour tout nombre r´eel x de l’intervalle [0,1[ l’´egalit´e : = a x .n1−xn=1 k=0f(1)−f(x)b) En d´eduire que la fonction x7→ est croissante sur [0,1[ et ...

Informations

• Publié par: aiolos
• Nombre de lectures: 254
• Langue: Français

Extrait

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES MATH II BL

L’objetduprobl`emeestl’´etude,surunexemple,d’unparadoxeconcernantlestempsd’attentedecertaines configurations dans un jeu de✭pile ou face✮. Onconside`redoncunesuiteinfiniedelancersd’unepie`ce´equilibre´e,c’est-`a-direpourlaquelle,`achaque lancer, les apparitions de✭pile✮et de✭face✮sno´tqeabobpruis.le Onadmetquel’expe´rienceestmod´elis´eeparunespaceprobabilise´(Ω,A,P). Pour tout entier naturel non nulnaro,dn´esignepR n l’´etnemene´v✭ernclaauıtaˆarppaelipgnedarn✮et parS n temenv´enl’´e✭face apparaˆıt au lancer de rangn✮

PartieI:Unr´esultatutile ∗ Onconside`reunevariableal´eatoireXΩr(de´nfieius,A,P), prenant ses valeurs dansNet, pour tout entier naturel non nuln, on pose :a n =P([X=n]). +∞ X n Ond´esigneparf0[eoidne´nfilfanotcntervalliesurl’i,1] par :∀x∈[0,1], f(x) =a n x. n=1 +∞ X 1.que la suite (a) Justifiera n ) n>1 ´reerbseisitslopnesuestuenomitedtoufslsnuerv´anifia n = 1. n=1 b)Montrerque,pourtoutnombrere´elx[0leaalrpvpetni’la`tnanetra,s´la],1erale´´nmrgeedetreei n a n xest convergente. 2.Dans cette question, on suppose que la fonctionfreillveavb´leeraupeositndt´1e;fiideno:c f(1)−f(x) 0 lim =f(1) 1−x x→1 x<1  ! +∞n−1 X X f(1)−f(x) k ´ a)Etablirpourtoutnombrer´eelxde l’intervalle [0,e:t´liga´el’1[=a n x. 1−x n=1 k=0 f(1)−f(x) b)End´eduirequelafonctionx7→est croissante sur [0,tuotru[1tellevqu’efiepo´eri 1−x f(1)−f(x) 0 nombrere´elxde l’intervalle [0,etna0:sse´tvius´einliga1es[l6 6f(1). 1−x N X 0 c) Montrerque, pour tout entier naturelN0non nul, on a :6na n 6f(1). n=1 End´eduirequelase´riedetermege´n´eralna n est convergente.

1/4