HEC 2005 mathematiques ii classe prepa hec (s)

Description

HEC 2005, math 2Dans tout le probl`eme, n et r d´esignent des entiers strictement positifs. On note M (R),n,rl’ensemble des matrices rectangulaires a` n lignes et r colonnes a` coefficients r´eels. Pour n =r, onpose M (R) =M (R).n n,n∗ nPour tout entier n deN , on identifieR et M (R).n,1tLa transpos´ee d’une matriceA appartenant `aM (R) est not´ee A. On pourra ´egalement la noternTA .On ´etudie dans ce probl`eme, quelques propri´et´es du mod`ele lin´eaire, qui constitue l’instrumentde base de l’´econom´etrie.Partie I : Trace et matrices al´eatoiresPour toute matrice M appartenant a` M (R), on appelle trace de M, not´ee tr(M), la somme dennXses coefficients diagonaux; ainsi, si M = (m ) , tr(M) = m .i,j 16i,j6n i,ii=1On rappelle les trois r´esultats suivants (que les candidats n’ont pas a` d´emontrer)• l’application tr qui, a` toute matrice M deM (R), associe sa trace, est une application lin´eairende M (R) dansR;n• si A est une matrice de M (R) et B une matrice de M (R), alors tr(AB) = tr(BA);n,r r,n• si M et N sont deux matrices semblables de M (R), alors tr(M) = tr(N).n1) SoitM une matricedeM (R) poss´edantq valeurs propres (16q6n) not´eesλ ,λ ,...,λ .n 1 2 qPour tout entier i de [[1,q]], on d´esigne par n la dimension du sous-espace propre associ´e a`ila valeur propre λ .iqXa) On suppose que la matrice M est diagonalisable surR. Montrer que tr(M) = n λ .i ii=1b)OnsupposequelamatriceM = (m ) deM (R)estsym´etrique.Montrerles´egalit´esi,j 16i,j6n ...

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HEC 2005, math 2

Danstoutleprobl`eme,netrtposemens.Onitifonetd´igesntneesedeitntssrtcirM n,r (R), l’ensembledesmatricesrectangulairesa`nlignes etrclonofficientsrnes`acoerulee´oP.sn=r, on poseM n (R) =M n,n (R). ∗n Pour tout entierndeN, on identifieRetM n,1 (R). t Latranspos´eed’unematriceAa`taprtpaanenM n (Re)ntsee´toAelemtnalonetr.Onpourra´ega T A. On´etudiedansceproble`me,quelquespropri´et´esduelildoe`rie´naem, qui constitue l’instrument debasedel’e´conom´etrie.

PartieI:Traceetmatricesale´atoires Pour toute matriceMtna`etanppraaM n (R), on appelle trace deM,(eetrnot´M), la somme de n X ses coefficients diagonaux; ainsi, siM= (m i,j ) 16i,j6n ,tr(M) =m i,i . i=1 On rappelle)rertadstnaidelcsq(euemon`ad´tpasn’onlerostr´islusestatviusstna •tacilppa’lteouat,`uirqntioamrtcieMdeM n (Racilnoitnutsppaeen´liirea,)atrace,eassocies deM n (R) dansR; •siAest une matrice deM n,r (R) etBune matrice deM r,n (R), alors tr(AB) = tr(BA) ; •siMetNsont deux matrices semblables deM n (R), alors tr(M) = tr(N). 1)SoitMune matrice deM n (Rsspo)tne´adqvaleurs propres (16q6nnot´)seeλ 1 , λ 2 , . . . , λ q . Pour tout entieride[1, qo,dne´isgnepar]]n i sl-aedsipmaecnesiondusouosice´a`rppoersa la valeur propreλ i . q X a)On suppose que la matriceMest diagonalisable surR. Montrer que tr(M) =n i λ i . i=1 b)On suppose que la matriceM= (m i,j ) 16i,j6n deM n (Rtie´gelasse)mystrte´ueiqon.Mertrs´le suivantes : q n n X XX t 22 2 tr(M M) = tr(M) =n i λ=m i,j i i=1i=1j=1 2)Pour tout entieride[1, n]] et pour tout entierjde[1, rseritoeal´saleabriva`dredeseo,cnnois]] re´ellesZ i,j Ω´s(eibilorabcapenespsuruniesd´efi,A, µlaO.)e´dntinfimaictrl´eatoearieZ`,a nlignes etrcolonnes,enassota`tnaictuoωde Ω, la matrice :   Z 1,1 (ω). . .Z 1,r (ω)     . Z(ω) =  .  =Z i,j (ω) 16i6n . . . 16j6r Z n,1 (ω)Z. . . n,r (ω) On suppose que lesnrs´eatoirelaselbairavZ i,j admenceepse´arteettnnuE(Z i,j ,e)ndtonfie´ti l’esp´erancedelamatriceZeE(ot´en,Z), comme la matrice deM n,r (Rstestlon)deneml´´e   sontlesespe´rancesE(Z i,j ), soitE(Z) =E(Z i,j ) . 16i6n 16j6r SiZetWa`seriotae´lsaceriatxmeutsdonnlignes etrcolonnes admettant chacune une esp´erance,etsiλno,lamertseee´rerqueraquE(λZ+W) =λE(Z) +E(W). Danslecasou`n=r, on appelle trace deZrt(´teeno,Zal´eablered´atoiinfierapeavir,)al n X tr(Z) =Z i,i et sin=roire=1l,mataireclae´taZtaioerco¨ıncideaveclavariableal´eZ i=1 et on a tr(Z) =Z. t t Danslecaso`ur= 1 etnest quelconque, siT= (T 1 T. . . n ) etW= (W 1 W. . . n ) n sontdeuxvecteursale´atoiresdeR, et siλe,ond´efiuelconqunu´reeqletsruetltinceve n ale´atoireλT+WdeRpar : t λT+W= (λT 1 +W 1 . . .λT n +W n )