HEC 2006 mathematiques i classe prepa hec (s)

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION SCIENTIFQUEMATHEMATIQUES IAnnØe 2006La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.Pour tout couple (p;q) d entiers strictement positifs, on note M (R) el nsemble des matrices à p lignes et qp;qcolonnes à coe¢ cients rØels.TSi A est un ØlØment quelconque deM (R), on note A la transposØe de A.p;q nDans tout le problŁme, pour n dans N , on identi e R et el nsemble M (R) des matrices colonnes à n lignesn;1net à coe¢ cients rØels. L espace vectoriel R est muni de sa structure euclidienne canonique, le produit scalaire deTdeux vecteurs X et Y Øtant notØ >X;Y > ou Y X.0 1x0 !1=2n 1B C Xx p1B C n 2TPour tout vecteur X =B C deR , sa norme est donnØe par kXk = X X = x .. k.@ A.k=0xn 12Le module et le conjuguØ d un nombre complexe z sont notØs respectivement jzj et z. On rappelle que jzj =zz.Le nombre ...

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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION SCIENTIFQUE MATHEMATIQUESI Année 2006

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Pour tout couple(p; q)dentiers strictement positifs, on noteM p;q (R)lensemble des matrices àplignes etq colonnes à coe¢ cients réels. T SiAest un élément quelconque deM p;q (R), on noteAla transposée deA. n Dans tout le problème, pourndansN, on identieRet lensembleM n;1 (R)des matrices colonnes ànlignes n et à coe¢ cients réels.Lespace vectorielRest muni de sa structure euclidienne canonique, le produit scalaire de T deux vecteursXetYétant notéY >> X;ouY X. 0 1 x 0  ! 1=2 n1 x 1 p X n T2 Pour tout vecteurX= BC deR, sa norme est donnée parkXk=X X=x. k @ A . k=0 x n1 2 Le module et le conjugué dun nombre complexezsont notés respectivementjzjetz. Onrappelle quejzj=zz. Le nombre complexe de module 1 et dargument=2est notéi.   (n) Lobjet du problème est létude de quelques propriétés de la matriceH n =h(appelée matrice de k;j 16k;j6n 1 (n) Hilbert) deM n;n (R), de terme génériqueh=, les entiersketjdécrivant[1; n]]. k;j k+j1 Pour tout entiernsupérieur ou égal à1, la matriceH n sécrit donc 0 1 1 1 1   2n 1 11    2 3n+ 1 H= n . . . . . B C 1 11 @ A    n n2+ 1n1

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