ICNA - Epreuve optionnelle 2004 Classe Prepa MP ENAC

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Examen du Supérieur ENAC. Sujet de ICNA - Epreuve optionnelle 2004. Retrouvez le corrigé ICNA - Epreuve optionnelle 2004 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 08 mars 2007
• Nombre de lectures: 32
• Langue: Français

Extrait

Lacalculatriceestautoris´ee. Questionsli´ees:1`a7;8`a27;28a`32;33`a40 PARTIE I netel´etentnnauttarueinrannu´eerbromlunnonle:esopno Z Z π π ax ax u n =ecosnxdxetv n =esinnxdx 0 0 1 -u n efiirruoputtoe´vn∈N: 1 π ax u n = [esinnx] pourn >0 0 an a) et 1 aπ u 0 = (e−1) a h i 2 π 1n n ax b)u n =ecosnx−sinax+u n 2 a a 0 a 1 π ax c)u n = [e(acosnx+nsinnx)] 0 2 2 n+a 1 n aπ d)u n = ((−1)e a−a) 2 2 n−a ∗ 2 -v n satisfait pour toutn∈N: 1 π ax a)v n = [−ecosnx] 0 an h i 2 π 1n n ax b)v n =e−cosnx+ sinnx−v n 2 a a 0 a 1 π ax c)v n = [e(ncosnx−asinnx)] 0 2 2 n−a   1 n+1aπ d)v n = (−1)ne+n 2 2 n+a 3 -La valeur absolue deu n est pour toutn∈N:eparr´eemajo aπ |a| |a|(1 +e) a) b) 2 22 2 n+a|n−a| et celle dev n ste:rapeer´joma aπ aπ n(1−e+) 1e c) d) 2 2 a+n an ∗ 4 -La suite (v 2k ),k∈Nt´esuieqlevae`ntsalaetiuetedgemr:relae´´n, aπ 1 1+e1 1 aπ a) (1−ec) d)) b) 2k k2k k 5 -suites (a) Lesu n ) et (v n isedengnosesaptep)nrtcenoevueevtneˆarellesnrgentesc constant. b) Lessuites (u n ) et (v n grnenoevet.majouiteestcr´eectnegrevsetuotraon)c c) Lasuite (u n ) converge vers 0 d) Lasuite (u n ) diverge car la suite (cosnx) n’a pas de limite P P On noteu n (respectivementv n eg´etermuedeeriqun´mreeial´s)re´nlau n (respectivement v n ) P 6 -Laa)´sreeiv 2k converge carlimv 2k = 0 k→+∞ aπ P P (1−e) b)Las´eriev 2k enetaruqetsedˆmmecoieernvlaueers´tnege 2k P c)Las´eriev n diveem’dsemoocmmgr,egeerivedri´eesuneire´senu’dteetnocvnreegtn.e

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n+1aπ P (−1)e d)Lase´riev n converge carv n ivqu´esteeireu’dl´seng´en´era,termelane`ta n convergente. P 1 7 -a)ise´eLrau n est convergente caru n lentuiva`aqe´tse 2 n P b)Lase´riev n onvergenteattlsen´erdoeenencutperteˆsbaemuloctne P c)Las´erieu n est absolument convergente car|u n |nee´em´gtereaplr´eorajtmesral A d’unes´erieconvergentedelaforme 2 n P d)Las´erieu n est divergente. PARTIE II 1 Soitfui`alafonctionqxou`associe ,u´xfil.erembeer´stenoun 1 +ucosx 8 -La fonctionfest continue a) surRpour toutu∈]−1,1[ b) sur[0, π] pour toutu∈[−1,1] c) sur[0, π] pour toutu∈R d) seulementsur ]0, π[, pour toutu∈]−1,1[ 9 -Pouru=−1, la fonctionfival´equauvoenteetsontincdeganisiofala`0ef 1 1 2 a)f 1 (x) =b)f 1 (x) = 2 x x et pouru= 1, la fonctionfuivalentest´eqanegedaevuioisπni`octonafalf 2 2 2 c)f 2 (x) =d)f 2 (x) = 2 (x−π)π−x Z π 10 -’intLlaee´rgf(x) dxest : 0 a) improprepour toutu∈[−1,1] b) nonimpropre,∀u∈[−1,1] c) impropre,uniquement pouru=−1 d) improprepouru∈[−1,1] tel que|u|= 1 α 11 -La fonction (x−π) ,avecαr´ee,l a)estinte´grablesur]0, π[ pourα >1 b)n’estpasinte´grablesur]0, π[ pourα >1 Z π etl’inte´gralef(x) dx, lorsqu’elle est impropre est 0 Z Z b π c)convergentecarlesdeuxinte´gralesf(x) dxetf(x) dxsont divergentes, 0b ∀b∈]0, π[ d) divergente Z π Onconside`relafonctiongq`auiuecisoa´seelrg(u) =f(x) dxleesegraint´etteceuqsrol,t 0 convergente. 12 -La fonctionge:d´stinfieruse a) ]−1,[1[ b)−1,[1] c)−1,1]\ {0}d) ]−1,1] 13 -egnahceLavedtnemd´leabrirpaniefit= tan(x/2) donne

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Z +∞ 2 dt a)g(u) = 2 t+ 2tu+ 1 0 Z π dt b)g(u) = 2 (1−u) + (1 +u)t 0 et la fonctiong´es’itcr π c)g(u) = √ pour toutu∈]−1,1[ 2 1−u π|u| √ si 0<|u|<1 2 u1−u d)g(u) = et πsiu= 0 1 Soithla fonction telle queh(x) =ou`λeeoenblmtesr´nur 2 λ−2λcosx+ 1 2 14 -rtnieLe´degrcondduseˆomeX−2Xcosx+ 1 a) eststrictement positif pourx∈[0, π],∀X∈R b) eststrictement positif surR, pourx∈]0, π[ uniquement c) admetune racine double 1 pourx= 0 d)eststrictementne´gatifsurRpourx∈[0, π] 15 -La fonctionhest a) continuesur [0, π] pour toutλ´rlee b)inde´finimentde´rivablesur[0, π] pour toutλuqetlle´ree|λ|<1 et la fonctionx7→h(x) cosnx,n∈Nraegeblst,et´in c) sur[0, π] pour toutλr´eel d) sur[0, π] pour toutλeuqlelteer´|λ|<1. Z π Onconside`relasuite(I n ) n∈N dte´gnereemra´elI n =h(x) cosnxdxl,qsroeceutteint´egrale 0 existe. 16 -I 0 est : a)strictementpositifb)strictementne´gatif ∗ et on a pour toutn∈N c)I 0 6I n 6−I 0 d)−I 0 < I n < I 0 17 -I 0 peut s’exprimer sous la forme :    2λ1 2λ1 a)I 0 =g−b)I 0 =g 2 22 2 1 +λ1 +λ1 +λ1 +λ π π c)I 0 = d)I 0 = 2 2 1−λ λ−1 2 18 -ˆnylsemoseniopudLeacsrX−2Xcosx+ 1sont, pour toutxle:re´ ix−ix a)eeteoˆnylopelracselleer´b)seemca`tcffieotnei´esrsel 2 1−X etlad´ecompositionen´ele´mentssimplesdelafractionrationnelle 2 X−2Xcosx+ 1 s’e´crit: 1 11 1 c) +d)−1 ++ ix−ixix ix 1−Xe1−Xe1−Xe1 +Xe 1 19 -La fraction rationnellepeut se mettre sous la forme : ix 1−Xe n−1 n inx P X e p ipx a)X e+ ix p=0 1 +Xe

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n P p ipx b)X e p=0 2 1−X et la fraction rationnellesous la forme : 2 X−2Xcosx+ 1 n P p c) 2Xcospx p=0 n−1 P 2 cosnx−2Xcos (n−1)x p n d) 2Xcospx+X 2 X−2Xcosx+ 1 p=1 2 1−λ 20 -La fonctionkravaledleel´eerbliaλd´,perafieink(λ=)pse’u´tecriresous 2 λ−2λcosx+ 1 la forme : Z π n P p a)k(λ) = 2λcospxdx p=0 0 Z π n−1 P p n b)k(λ) = 2λcospxdx+ 2λ(I n −λI n−1 ) p=1 0 ∗ et la suite (I n ) n∈N allbeercn,eavnoitalerruce´redvlafieri´e∀n∈N: π n c)λ(I n −λI n−1 ) = 2 d)I n =λI n−1 21 -eng´ra´eetLmeerlI n toutpourrit,’´ectiseetuscetedn∈N: n λ π a)I n = 2 λ−1 ( )   2q q −1 λ ππ P 1 1 2p I 2q = +λ+ +1 + 2 2p2q 1−λ2λ λ p=1 ( ) b)   2q+1 q−1 λ ππ P 1 1 2p+1 I 2q+1 = +λ1 ++ + 2 2p+1 2q+1 1−λ2 p=1 λ λ et la suite (I n ) n∈N a pour limite` π c)`d)= 0`= 2 1 22 -La fonctionhrapeinfie´d,h(x) = 2 λ−2λcosx+ 1 a) estpaire etπp-e´ee´rltoutpouriqueriodλtel que|λ|<1 b) est2πapripeuoqieutemielrtoutr´e´e-podriλ c) est,pour toutλeel2r´πeriapmnist’esniienirpareoi-´pmeiaiduq d)n’estpe´riodiquepouraucunevaleurdur´eelλ 23 -La fonctionh a)n’estde´rivablesurRelur´eeurdvelacunuuoarpλ b)estinde´finimentde´rivablesurRtourpotu´reelλ 0 etsad´eriv´eehsielleex,irce:tetsi´’s, 2λsinx 0 c)h(x) =− 2 2 (1−2λcosx+λ) 2 (cosx−λ) 0 d)h(x) = 2 2 (λ−2λcosx+ 1) 24 -leabpplove´etdoieiruoFedeire´snePournotcoisnqr’unufe a) ilsuffit qu’elle soit continue b)ilsuffitqu’ellesoitp´eriodique

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