ICNA - Epreuve optionnelle 2005 Classe Prepa PC ENAC

Fabrice Colin

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Examen du Supérieur ENAC. Sujet de ICNA - Epreuve optionnelle 2005. Retrouvez le corrigé ICNA - Epreuve optionnelle 2005 sur Bankexam.fr.

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• 2005
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• Publié le: 13 juillet 2008
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Extrait

Questions liées.

ÉNONCÉ

[1,2,3,4,5,6] [7,8,9,10,11,12,13] [14,15,16,17,18] [19,21,21,22,23] [24,25,26,27,28] [29,30,31,32,33,34] [35,36,37,38,39,40]

Une diode à vide est constituée d'une cathode métallique filiforme C portée par l'axe Oz d'un repèreR (Oxyz) et d'une anode métallique cylindrique A coaxiale à la cathode, de hauteur h et de rayon R. Une source de tension z connectée aux bornes de la diode délivre une tension continue V U C led V= A a − c  V hta C edo peul'oniretfare.avirernOpq  u p e ou  ror  iginedesopettneisl(V C  p 0 oe =   l ) r . alienttedn A R L'espace inter-électrode compris entre l'anode et la cathode C contient des électrons qui ont été émis sans vitesse initiale e z z r l d e e s p v u a is r  i l a a b  l c e a s t r h , o θd,tsmèuys pertserapeérén'udMontrecél  sipoontie.daL lycrdnieuqiedsdeeooconrdesné e θ h z M basee r ,e θ ,e z défini sur le schéma de la figure ci-contre. e r Compte tenu de la symétrie du problème, la vitessev des O d él e e r c . t  ronsainsiquelachargevolumiqueρde sont fonctions que x θ y On rappelle que le laplacien∆f(r) d'une fonction scalaire f(r) qui ne dépend que de la variable r s'écrit, dans le système de coordonnées cylindriques : df r ∆f r= r 1 d ( ) r dr    dr   ) 

1.obéit le potentiel V(r) en un point quelconque de l'espace l'équation différentielle à laquelle  Écrire inter-électrode. a)  d 2 V 2 ( r ) + 1 dV ( r ε ρ + ) 0 r = ) 0b)  d 2 V dr 2 r ) + 2dr r V rd ρ ε ) + r = ) 0 dr r dr 0 d 2 V r 2 dV r r + −c)  dr 2  + ( ) r drε − ρ)( 0 = ) 0d)  d 2 dr V 2 r)rdV r 1 rd ) ε ρ 0 r) =0

2. Déduire de l'application du théorème de l'énergie mécanique, l'expression de la vitesse v(r) des électrons (que l'on supposera non relativistes), en fonction de leur charge−e, de leur masse m et du potentiel V(r) (on négligera la force de pesanteur devant la force électrique). a) v(r) = e V(r)b) v(r) = 2 e V m (r)c) v(r  ε ) = 0 e2 V m (r)d) v(r) = 2e m V(r) m

3. Calculerl'intensité I(r) du courant qui traverse la surface cylindrique d'axe Oz, de rayon r, de  hauteur h et de normalen=−e r , en fonction deρet de la vitesse v(r) des électrons.(r), h, r a) I(r) = −πh rρ(r)v(r)b) I r) = −2πε 0 h r 2 ρr)v r) c) I ( r ) = − 2πh r ρ( r ) v ( r ) d) r I ) = −πε 0 h r 2 ρr ) v r ) 

4. Montrer que le potentiel V(r) obéit à l'équation différentielle : d 2 V r dV r  I K −2 r=r dr 2 ) + dr ( )  )( ( V ( r )) 1 /  Exprimer K.

AC

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a) K  1 = 2πε 0 h

m  2e

 K= 1 b) 4πε 0 h

2m  e

c) K= 2π 1 ε 0 h

2e  m

ICNA - SESSION 2005

d) K= 8π 1 ε 0 h

m  e

5. Enrégime stationnaire, l'intensité traversant une surface cylindrique de rayon r quelconque et d'axe  Oz est indépendante du rayon r du cylindre. On cherche des solutions de la forme V ( r ) = Ar α où A est une constante. Calculerα. a)α = 3 b)α = 2 3 2

c)α = 2  1

3 d)α= 5

6. que  Montrerla relation entre l'intensité I et le potentiel d'anode V A  Is'écrit :=C V 2/3 A . Exprimer C. 8πε 0 h 2e a) C= 4π 5 ε R 0  h m e b) C= 2π 7 ε R 0  h m e c) C= 4πε h 0 m  R e d) 9R m  C =

7. un modèle proposé par Yukawa, le potentiel V(r) et le champ électrique DansE(r) qui règnent dans un plasma, en un point M de l'espace situé à une distance r = ||r|| ||OM|| d'une origine O sont créés = par un ion positif de charge q placé en O et pardeux distributions diffuses de charges positives et négatives occupant tout l'espace. Les charges volumiques respectivesρ + (r) etρ − (r) de ces distributions diffuses sont données par les relations :  ρ + ( r ) = ρ 0 exp   −  V V 0 r  )   etρ − ( r ) = −ρ 0 exp    V V 0 r )     oùρ 0 et V 0 sont des constantes à une température donnée. Aux très hautes températures correspondant à une fusion thermonucléaire, on a V(r)/V 0  <<Exprimer, au premier ordre par rapport à V(r)/V 1. 0 , la charge volumique totaleρ(r) correspondant aux deux distributions diffuses. a)ρ(r) = −2ρ 0 V V ( 0 r ) b)ρ(r) = ρ 0 V V ( 0 r ) c) r ) = 0d)ρ(r) = −ρ 0 V V ( 0 r ) 

8. laplacien d'une fonction scalaire f(r) de  Lela variable r seule est donné, dans le système de :∆f ( r ) = 1 d 2 rrf dr )) . En utilisant l'équation de Poisson, montrer coordonnées sphériques par la relation  r 2 que le potentiel V(r) obéit à l'équation différentiell 2 ))  rr V ) e: d d r r 2 V r = r 02 . Exprimer r 02 . a)r 2 = ρ 0 b) r 02 ε = V 0 c) r 02 = 2 0 ρ V 0 0 d) r 02 = ρ V 0 0  0 2ε 0 V 0 0 ρ 0 9. Montrer que, compte tenu du modèle choisi pour représenter le plasma et de la nécessité pour le potentiel de conserver une valeur finie en tout point de l'espace, le potentiel en M peut s'écrire : V r= A pxe   − r   . Exp ( ) r  r 0  rimer A. a) A ε = q 0 b) A= q 4 c) A= 2π q ε 0 d) A π = q ε 0  πε 0 10. le champ électrique CalculerE(r) en M. a)E(r) =  π q ε 0 r 2    1+ 2 r 0    exp   −  r r 0    b)E(r) = 2π q ε r r 3 exp    − r     r r 0 r 0 r r E r q r 3  r 1 exp = c)E(r  ε ) = q 0 r 2 exp    − r r 0    d)( ) 4πε 0 r    + r 0    −   r 0    11. le flux CalculerΦdu champ électriqueEà travers une sphère de rayon R centrée en O. q 1 R  R a)Φ = 4π q ε 0   1+ R r 0    exp    − R r 0    b)Φ =  +      exp    −     ε 0 r 0 r 0

AC

ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE - ÉNONCÉ

 −    c)Φ = 2π q ε 0    1+ R r 0    exp  r R 0  d)Φ =  ε q 0 r R 0 exp  −   R r 0     12. En déduire lacharge totale diffuseQ 0 contenue dans une sphère de centre O et de rayon r. a) Q 0 =q−     1+     1+ r r 0     exp     − r r 0         b) Q 0 =q    1+ r 0    exp    − r r 0     r r r c) Q 0 =q    1+ 2 r 0    exp    − r 0    d)  Q 0 =q−     1+exp      −       r r r 0 r 0

13. la Exprimercharge volumique diffuse totaleρ(r) à une distance r de l'origine. a) ρ( r  πε ) = q 0 3 exp    − r r 0    b) ρ( r  π ) = q r 2 r 0 exp    − r r 0     4 r 4 c) ρ( r ) = −  πε q 00 3 exp  −   r r 0    d) ρ( r ) = − 4πrr q 02 exp    − r r 0     2 r

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14. On considère le circuit représenté sur le schéma de la figure ci-contre où l'amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire et peut être considéré comme idéal. La tension R 2 sinusoïdale d'entrée, d'amplitude complexe V e et de pulsationω, est appliquée sur la borne Z 3 S inverseuse de l'amplificateur. La tension de sortie, ∞ d de c S '  a d m u p  l c i i t r u cuit. o Z m 1 Z pl , xee 3 Z, V 4 s edtnosp s é e d  a te s r  u im c nce  s ,upointeilliea Z Z V 4 V s 1 e dont on précisera la nature plus loin, R 2  une est résistance. Exprimer la fonction de transfert T= V V s e  du montage.

a) T= Z Z + 4 R Z 2 Z +Z 1  3 4 1 c) T= Z Z+ 1 Z R 2 R +Z 1  1 4  2

Z + b) T 4 R 2 Z Z 3 = Z 1 +Z 4 3 d) T= R 2 R + 2 Z 4 Z 4 Z +Z 1  4

15. Z L'impédance 1 est constituée d'une bobine de coefficient d'auto-inductance L, d'un condensateur de capacité C et d'un résistor de résistance r, ces trois éléments étantconnectés en série. Z 3 et Z 4 sont des résistors purs de résistances respectives R 3 et R 4 . Pour quelle valeurω 01 de la pulsationωles tensions d'entrée V e et de sortie V s sont-elles enphase? a)ω 01 = 1 b)ω 01 = 2 c)ω 01 = 1 d)ω 01 = R 2  2 LC LC LC r LC

16. Lorsqueω=ω 01 , quelle doit être la valeur de R 2 pour que les amplitudes des tensions d'entrée et de sortie soient égales ? R 3 + 4 a) R 2 = R R 4 3 rb) R 2 = R R 3 4 rc) R 2 = R 3 + 3 R 4 rd) R 2 = R R 4 R r

17. Z L'impédance 1  maintenant un résistor pur de résistance R est 1  Z. L'impédance 3  est constituée d'un condensateur de capacité Cen sérieavec un résistor de résistance R. L'impédance Z 4 est constituée

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ICNA - SESSION 2005

d'un condensateur de capacité Cen parallèleavec un résistor de résistance R. Pour quelle valeurω 02 de la pulsationωles tensions d'entrée V e  Vet de sortie s sont-elles enphase? a)ω 02 = R 1 R +R 2 RC  1 b)ω 02 = R 1 2 1 c)ω 02 = R R 1 2 C 1 R d)ω 02 = 1 CR  1 R RC

18. Lorsqueω=ω 02 , quelle doit être la valeur de R 2 pour que les amplitudes des tensions d'entrée et de sortie soient égales ? b) R 2 =R 1 c) R 2 = R 2 1 d) R 2 = R2 3 1 

a) R 2 =2R 1 

Un écran opaque est percé d'une fenteFde largeurεet de longueur a >>ε. La fente est centrée dans le p pl a a ra n l  lè x le O  y à  l d' a u  n g  ra tr n i d è e d  re d  im O e x n y s z i  on d  o d n e t   l l a '  a f x e e nte O  y (  vo e i s r t   x L X figure ci-contre). ε st éclairée par une onde plane L m a o  no f c e h nt r e o  ma e tique,d'amplitudeψ 0 , de longueur F P z d'onde dans le videλ, provenant d'une source  F O O' ponctuelle S 1  située à l'infini et dont le vecteur d'ondek 1 est parallèle à l'axe Oz. a On observe l' de diffractée parF dans le plan y Y focalimageFX on Yd'unelentilleminceconvergente   f ' L, dont l'axe optique est confondu avec l'axe Oz et dont la distance focale image est f ' .

19. admettant que a >> Enλ, montrer que l'éclairementE 1 point P (X,Y) du plan focal imageen tout deL, peut se mettre sous la forme :E 1 =ψ 2 0    sin ( πu π X Xu )    2 . Exprimer u. a)  u= ε λf ' b) u ε = λ f ' c) u λ = f ' ε d)  u= λ εf '

20. Calculer la demi largeur à la base,δX 1 de la figure de diffraction dans le, du maximum central plan FXY. a)δX 1 = ε λ f ' b)δX 1 ε λ = f ' c)δX 1 = ε f λ ' d)δX 1 ε λ =π f '

21. considère maintenant une source lumineuse ponctuelle monochromatique S On 2 , de longueur d'onde dans le videλ, située à l'infini, émettant une onde plane dont le vecteur d'ondek 2 , contenu dans le plan xOz, fait un angleθpetit avec l'axe Oz. Montrer que l'éclairementE 2 en tout point P (X,Y) du plan focal image deL, peut s'écrire :E 2 =ψ 2 0   sin(πβ)   2 . Exprimerβ.  πβ  a) ε λ β= f ' ( X−f ' ) b) λ ε =β f ' (X+f ')c) ε λ β= f θ ' (θ X+f ' ) d)β λ ε = f ' (X− θf ')

22. la demi largeur à la base, ExprimerδX 2 , du maximum principal de la figure de diffraction dans le plan FXY. a)δX 2 = λ θ εf ' b)δX 2 ε = θf λ ' c)δX 2 = θπ εf ' d) X= λ ε f '  λ δ 2 

23. observe maintenant l'intensité diffractée par la fente OnF est éclairée simultanément lorsqu'elle par les deux sources S 1 et S 2 . On admet que les deux figures de diffraction sont séparées dans le plan focal FXY si la distanceAentre les deux maxima principaux est au moins égale à la demi largeur à la base de ces maxima (critère de Rayleigh). Exprimer le pouvoir séparateur de la lentille défini comme étant la plus petite valeurθ 0 deθdonnant deux figures de diffraction séparées.

AC

ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE - ÉNONCÉ

a)θ 0 = λ  ε

b)θ 0 = π λ  ε

c)θ 0 λ = ε 

d)θ 0 =π ε λ 

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Un corps solide indéformable de masse m = 0,1 kg, de capacité thermique massique c = 460 SI, en équilibre à la température T i un thermostat réglé à la température T= 350 K, est placé dans 0 = 280 K. 24. Dans le Système International (SI), la capacité thermique massique s'exprime en : a)J −1 .K.kgb)J.kg −1 c)J.K −1 .kg −1 d)K −1 kg −1 . 25. Calculer numériquement la variation d'énergie interne∆U du corps lorsqu'il a atteint son nouvel état d'équilibre. a)∆U =−5,32 kJb)∆U =−3,22 kJc)∆U =−12,47 kJd)∆U =−7,36 kJ 26. Calculer numériquement la variation∆S de son entropie. a)∆S =−17,5 J.K −1 b)∆S = 32,2 J.K −1 c)∆S = 5,7 J.K −1 d)∆S =−10,3 J.K −1  27. l'entropie échangée, S Calculer e , lors de cette évolution entre le corps et le thermostat. a)S e =−11,5 J.K −1 b)S e = 0 J.K −1 c)S e = 2,7 J.K −1 d)S e =−2,7 J.K −1  28. Calculer l'entropie produite, S p , lors de cette évolution. a)S p = 0 J.K −1 b)S p = 1,2 J.K −1 c)S p =−17,15 J.K −1 d)S p = 13,7 J.K −1 

29. onde électromagnétique non plane se propage dans le vide suivant la direction de l'axe Oz Une d'un trièdre trirectangle Oxyz. Les composantes du champ électriqueEdans la baseBassociée au trièdre s'écrivent, en notation complexe : E=E x =E 0x (x)exp(i(ωt+z))), E y =0 , E z =E 0z x)exp iωt+z) + ϕ 0 )) Les fonction E 0x (x) et E 0z (x) sont des fonctions réelles de la variable x,ϕ(z) est une fonction réelle de la variable z etϕ 0 est une constante réelle positive. L'équation de Maxwell-Gauss permet d'écrire l'équation différentielle : dE 0x ( x + ) f(x, z)exp(iϕ )0 i dx 0 = Exprimer la fonction réelle f(x,z). a) ( z ) E ( x ) dϕz ) f x,= 0x dz b) f ( x, z ) = E 0z ( x ) d dϕ z z )  c) f ( x, z ) = − E 0z ( x ) d d 2 z ϕ( 2 z) d) x, z f ) = − E 0x x ) z )

30.  0; équation différentielle et si l'on ne considère que l'intervalle cette  Deπ], on peut déduire que : a)ϕ 0 = 0b)ϕ 0 =πc)ϕ 0 =π/2d)ϕ 0 =π/4 31.  d  définit une constante réelle positive k et l'on suppose que  d  On ϕ z z) <0 . Si l'on prend l'origine des phases en z = 0, on déduit de l'équation différentielle précédente que : a) ϕ(z) = −k 2 z b) ϕ(z) = −kz 2 c) z ) = kzd) ϕz) = −k 2 z 2 

32. utilisant les résultats précédents et l'équation de propagation du champ électrique, on obtient les En équations différentielles suivantes : d 2 E dx 2 x0 (x) +k 2 0 E 0x ( x ) = 0 et d 2 E xd 2 z0 (x) +k' 2 0 E 0z ( x ) = 0 On désigne par c la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide. Exprimer k 02 et k' 02 . ω 2 ω 2 b) k 02 = ω 2 +k et k'= ω 2 +k a)  k 02 = 2 −k 2 et k' 02 = −k 2  2 2 2 0 2 2 2 c c c c k ω 2 ω 2 −k = ω 2 − kk et = ω 2 + 2 2 2 c) 0 = 2 + k'k et 0 = 2 k 2 d) 0 2 2 2 ' 0 2 2 k 2 c c c c

AC