LA RÉUNION juillet Exercice points Une urne contient jetons trois jetons noirs et carrés trois jetons noirs et ronds un jeton vert et carré un jeton vert et rond L'épreuve consiste extraire au hasard deux jetons de l'urne selon une procédure qui est déterminée par le lancer d'une pièce truquée

Description

LA RÉUNION juillet 1997 Exercice 1 5 points Une urne contient 8 jetons : trois jetons noirs et carrés, trois jetons noirs et ronds, un jeton vert et carré, un jeton vert et rond. L'épreuve consiste à extraire, au hasard, deux jetons de l'urne selon une procédure qui est déterminée par le lancer d'une pièce truquée : • si l'on obtient « PILE », on extrait les deux jetons simultanément, • si l'on obtient «FACE», on extrait les deux jetons successivement avec remise. Lors du lancer de la pièce, la probabilité d'apparition de « PILE » est 7 15.On note : P l'évènement « on obtient PILE » ; F l'évènement « on obtient FACE » ; A l'évènement « les deux jetons tirés ont la même forme OU la même couleur » ; E1 l'évènement « obtenir deux jetons de la même couleur » ; E2 l'évènement « obtenir deux jetons de la même forme » ; E3 l'évènement «obtenir deux jetons de lamême forme ETde lamême couleur ». Les résultats seront donnés sous forme de fractions. 1. On lance la pièce. a. On suppose que l'on a obtenu « PILE ». Déterminer la probabilité conditionnelle des évènements E1, E2 et E3. En déduire que la probabilité de l'évènement A, sachant que P est réalisé, est 1114.

• probabilité conditionnelle des évènements e1


• positions relatives des courbes c0


• affixes respectives des points k?


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juillet 1997
• Nombre de lectures: 47
• Langue: Français

Extrait

LA RÉUNION juillet 1997 Exercice 15 points Une urne contient 8 jetons : trois jetons noirs et carrés, trois jetons noirs et ronds, un jeton vert et carré, un jeton vert et rond. L’épreuve consiste à extraire, au hasard, deux jetons de l’urne selon une procédure qui est déterminée par le lancer d’une pièce truquée : •si l’on obtient « PILE », on extrait les deux jetons simultanément, •si l’on obtient « FACE », on extrait les deux jetons successivement avec remise. Lors du lancer de la pièce, la probabilité d’apparition de «PILE »est 7 . 15 On note : P l’évènement « on obtient PILE » ; F l’évènement « on obtient FACE » ; A l’évènement « les deux jetons tirés ont la même forme OU la même couleur » ; E 1 l’évènement « obtenir deux jetons de la même couleur » ; E 2 l’évènement « obtenir deux jetons de la même forme » ; E 3 l’évènement « obtenir deux jetons de la même forme ET de la même couleur ». Les résultats seront donnés sous forme de fractions. 1.On lance la pièce. a.On suppose que l’on a obtenu « PILE ». Déterminer la probabilité conditionnelle des évènements E 1 , E 2 et E 3 . En déduire que la probabilité de l’évènement A, sachant que 11 P est réalisé, est. 14 b.On suppose que l’on a obtenu « FACE ». Déterminer la probabilité conditionnelle des évènements E 1 , E 2 et E 3 . En déduire que la probabilité de l’évènement A, sachant que 13 F est réalisé, est. 16 2.Quelle est la probabilité de l’évènement A ? 3.Sinest un entier naturel supérieur ou égal à 2, on répète n fois l’épreuve, de manière indépendante. Déterminer la probabilitép n pour que l’évènement A se réalise à chaque épreuve. 1 Pour quelles valeurs den, atonp n >? 2

Exercice 2 (obligatoire)5 points ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v.

1

À tout pointMdu plan d’affixez, différente de zéro, on associe les ′ ′′′ ′′′ pointsMetMd’affixes respectiveszetzdéfinies parz=izet ′′2 z=z. 1. Casparticulier Soit A le point d’affixea=2−i et B le point d’affixeb=2+i. ′ ′′ On appelle Aet Ales points associés à A, ′ ′′ On appelle Bet Bles points associés à B. ′2 a.Déterminer, sous forme algébrique, les affixesaetades ′ ′′′ ′′ points Aet A. Prouver que A est le milieu du segment [A A]. ′ ′′ b.Déterminer, sous forme algébrique, les affixesbetbdes ′ ′′ points Bet B. ′′ b−b c.Calculer, sous forme algébrique,. ′ b−b ′ ′′ d.. Représenter sur uneEn déduire la nature du triangle B B B ′ ′′′ ′′ figure les points A, A , A, B, Bet B. 2.Cas général Mest un point quelconque d’affixezdifférente de zéro.Nest le ′ ′′ point d’affixez.NetNsont les points associés au pointN. On posez=x+iyoùx∈Rety∈R. ³ ´ −−−→−−→−− ′ ′′ a.Prouver que, siz6=1, l’angleM M,M Ma pour mesure z−1 un argument de. i−1 z−1 b.Déterminer une relation entrexetypour quesoit réel. i−1 ′ ′′ c.Montrer que les pointsM,MetMsont alignés si et seule ment siy= −x+1. (1) d.On suppose que l’affixe deMest différente de 1 et que la relation (1) est vérifiée. ′ ′′ Prouver queN NNest un triangle rectangle enN.

Exercice 2 (spécialité) Dans le plan orienté, OIKJ désigne le carré π J de côté 1 tel que+soit une mesure de 2 ³ ´ −→−→ OI , OJ. A est un point quelconque de la droite (IJ) dif férent de I. sdésigne la similitude directe de centre O qui transforme le point I en le point A. O Les images de J, K et A parssont respective ′ ′′ ment notées J , Ket A . ′ ′ 1. a.?Quelle est la nature du quadrilatère OAK J

2

5 points

K

A I

′ ′ b.sont alignés.Prouver que les points J , A et A ³ ´³ ´ −→−→− −−→ → ′ c.OI , OAComparer les angles, OAet OA. d.Reproduire le dessin cidessus en prenant OI = 5 cm et construire ′ ′′ les points J , Ket A . (la construction sera expliquée) ′ ′′ e.Prouver que A O = A K . 2.Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ³ ´ −→−→ O, OI , OJ, on note dorénavantal’affixe du point A etαun ar gument dea. π3π a.Prouver quea−1 admet pour argument−ou . 4 4 b.En utilisant la symétrie d’axe (IJ), prouver que ³ ´³ ´ −→−→−→−→ OI , OA=KA , KI. En déduire qu’un argument dea−(1+i) admet pour mesure π −α−. 2 ′ ′ 3. a.Prouver que sizdésigne l’affixe du pointMimage du point ′ Md’affixezpars,z=az. ′ ′′ ′ b.Déterminerketales affixes respectives des points Ket A en fonction dea. −−→−−→ ′ ′′ c.On notez 1 etz 2 et de K Ales affixes respectives de KK. En utilisant la question 2., prouver quez 1 est un réel et que z 2 est un imaginaire pur. ′ ′ 4.sur la droite (JK).Prouver que Kest le projeté orthogonal de A

PROBLÈME ³ ´ −→−→ Le planPest rapporté au repère orthonormalR= O,ı,. L’unité graphique est 4 cm. Dans tout le problèmeIdésigne l’intervalle [0 ;+∞[.

Partie A

x On appellef 0 etf 1 les fonctions définies surIparf 0 (x)=e etf 1 (x)= x xe . C 0 etC 1 sont les courbes représentatives def 0 et def 1 dans le repère R. 1.Étude de la fonctionf. a.Déterminer la limite def 1 en+ ∞. ′ b.Étudier le signe def, surIet dresser le tableau de variation 1 def 1 . ′ 2.Vérifier que pour toutx∈I,f(x)=f 0 (x)−f 1 (x) (1) 1

3

3.Soitx∈I. On appelleM 0 etM 1 les points deC 0 et deC 1 d’abs cissex. Déterminer selon les valeurs dexles positions relatives des courbesC 0 etC 1 . 4.Les graphiques a.Comment peuton construireC 0 à partir de la courbe d’équa x tiony=e ? DessinerC 0 . b.Placer les points deC 1 d’abscisses 0, 1, 2 en précisant les tan gentes àC 1 en ces points.

c.DessinerC 1 .

Partie B

On se propose de fabriquer, à la suite def 0 et def 1 des fonctions f 2 ,f 3 . . ,, .f n , dérivables surIet satisfaisant aux conditions :

  pour toutxélément deItout, pournentier naturel non nul, ′ (2) f( (x)−f n x)=f n−1n (x)  f n (0)=0 x 1.On pose pour toutxdeI,g n (x)=f n (x)e ,c’estàdiref n (x)= −x g n (x)e . ′ ′ a.Calcux) lerf(x) en fonction deg n (x) et deg n tout( pourx n deI. b.Montrer quef n satisfait aux conditions (2) si et seulement si

  pour toutxélément deI, pour toutnentier naturel non nul, ′x (3) g(x)=ef n−1 (x) n  g n (0)=0

−x c.Calcul def 2 . (On rappelle quef 1 (x)=xe .

′ i. Calculerg(x) puisg 2 (x) pourx∈I. 2

ii. Endéduiref 2 (x). iii. Montrerpar récurrence que pour toutxélément deI, pour toutnentier naturel non nul,

n x −x f n (x)=e . n!

Partie C

4

Soitaun élément non nul fixé dansI. Pour tout entier natureln, Z a on poseI n (a)=f n (x) dxoùf n est la fonction définie dans la 0 deuxième partie. a.CalculerI 0 (a). b.En utilisant les conditions (2), montrer que pour toutn > 1, n a −a I n (a)−I n−1 (a)= −e . n! Ã ! n k X a −a c.En déduire que pour toutn>0,I n (a)=1−e . k! k=0 d.Dans cette question, on posea=1. On appelle (u n ) la suite numérique définie pour toutn∈Npar : Ã ! 1 Z n X 1 −1 u n =1−e=f n (x) dx. k! k=0 0 On noteC n la courbe représentative def n dans le repèreR. i. Montrerque, pour tout entier natureln,u n > 0 et don ner une interprétation géométrique deu n . ii. Montrerque pour tout entier natureln, et pour toutx∈ [0 ;1], 1 n f n (x) 6 x. n! iii. Endéduire l’encadrement : pour tout entier natureln, 0 6 1 u n 6 , puisla limite deu n . (n+1)! Ã ! n X 1 iv. Déduireenfin que :e=lim . n→+ ∞ k! k=0

5