Les calculatrices sont interdites

Description

Les calculatrices sont interdites N.B.: Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. **** La partie III est independante des deux premieres. PARTIE I Soit (Pn)n?IN la suite de fonctions polynomiales definies sur IR par : P0(x) = 1, ?n ? IN?, Pn(x) = n∏ k=1 (x + k). I.1. Soient m ? IN et n ? IN. Donner une expression de Pn(m) a l'aide de factorielles. Soit ? un nombre reel qui n'est pas un nombre entier strictement negatif. On definit la fonction f? de la variable reelle x par : f?(x) = +∞∑ n=0 (?1)nx2n 22nn!Pn(?) . I.2. Montrer que f? est definie sur IR tout entier. I.3. On considere l'equation differentielle lineaire homogene en la fonction inconnue y de la variable reelle x : (E?) xy ??(x) + (2? + 1)y?(x) + xy(x) = 0.

• ∂2f˜ ∂?2


• expression de pn


• classe c2 sur ir


• ir2 ?


• ∂2f ∂y2


• dt

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• Publié par: pefav
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• Langue: Français

Extrait

Les calculatrices sont interdites N.B.:Siuncandidatestamen´ea`repe´rercequipeutluisemblereˆtreuneerreurd’´enonc´e,illa signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’ilae´t´eamene´`aprendre.

**** LapartieIIIestind´ependantedesdeuxpremi`eres.

PARTIE I

Soit (P n ) n∈IN :rapRI´esdleiaurssiefinofcnitnopslonymolasuitede P 0 (x) = 1, n Y ∗ ∀n∈IN, P n (x() =x+k). k=1 I.1.Soientm∈IN etn∈une expression deIN. DonnerP n (mles.actoriela’didefe`)la

Soitαbromnnsupast’einuqlee´rerbmonnuif.egatntn´etemrtcieisreetn Ond´efinitlafonctionf α ellaviredal´reebaelxpar : +∞ n2n X (−1)x f α (x) =. 2n 2n!P n (α) n=0 I.2.Montrer quef α urestoIRenuterti.ets´dfiein I.3.alneene`gomoheriuenncoinontincfoid´ffitnoqeaule´’n´ealelitielerencnOisnore`dyde la variablere´ellex: 00 0 (E α )xy(x) + (2α+ 1)y(x) +xy(x) = 0. I.3.1.Montrer quef α est solution de (E α ) sur IR. I.3.2.s,ioemtntR´eoquecipryune solution de (E α deeeens´erieenti`erte,eve´dpolelbap),irpa la variablexau voisinage dexExprimer= 0.yen fonction def α ety(0).

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