Mathématiques 1999 Classe Prepa B/L ENSAE

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Examen du Supérieur ENSAE. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 1999
• ENSAE

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 126
• Langue: Français

Extrait

E.N.S.A.E.1999.Concours“´economie” PROBLEME 1 Noration :Pour deux entiers naturelspetq≥p, on note[p, q]] = [p, q]∩N-`st’e,c’lerid-aelbmesne des entiers naturels compris, au sens large, entrepetq. ∗ 1)a)Pour tout entierk∈Nillrteba´,muleafor k X j k C =2 (1) k j=0 2N+1 X j ∗ Ende´duirelavaleur,pourN∈NC ., de 2N+1 j=N+1 r X n−1 n b)Pour tousn∈N, n≥2, etr∈NC =C (2), montrer que : n−1+ j n+r j=0 2)a)Soientnetp:t1uediersxentifianv´er≤p≤n. Rappeler la valeur du cardinal de l’ensemble Edsantes`aentcroistsirtcmeseustisepeblemns’elsnadstneme´le´I=[1, n]] : E={(q 1 , q 2 , . . . , q p )/1≤q 1 < q 2 < .. .< q p ≤n} Soitr∈[0, p−1]] etk∈[0, n−te´e.D]]leerinrmlanidrace-suosudnsemble1E k deE constitue´dessuitesstrictementcroissantes(q 1 , q 2 , . . . , q p ) pour lesquellesq r+1 =k+ 1. n−p+r X p r p−r−1 End´eduirelaformuleC=CC n k n−k−1 k=r ∗ b)uttourseluammoaledmrofntvapoe,irtouies´Ddeiuipr´ec`eredecequN∈N: N X N k2N S N 2 =2= C 2N−k k=0 c)4(c)itnosssu-iedrouvRetrelaerlarrence.ennotnemrrapuce´l’`adeaiund’isra 3)xdcueasevojruteuoenm`roep,snimu´edrevuorteresedruruedobbnno,sedepUnamate boıˆtesdecachous,unedanschaquepochedesaveste.Initialementchaqueboˆıte,neuve, ∗ contientlemˆemenombreN(N∈N) de cachous. Chaque fois qu’il a envie d’un bonbon, l’individuchoisituneboˆıteauhasard(leschoix´etantinde´pendants)etentireunbonbon. On noteX N nadterts’nalslavarlbai´laeotaederiomunedbronebnsboautreboˆıte lorsqu’il se rend compte que l’une des boˆıtes est vide (on prendra garde que ceci ne se produit pas lorsqu’iltireledernierbonbon,maisa`latentativesuivante). a)e´laiotaerbaelaviredallaionerlermiD´etX N . Ve´rifierqu’onabienuneloideprobabilit´e. ´ b)Etablir la relation, pour toutk∈[0, N−1]] : 2(N−k)P(X N =k) = (2N+ 1)P(X N =k+ 1)−(k+ 1)P(X N =k(5)+ 1) End´eduireque E(X N ) = (2N+ 1)P(X N = 0)−1 (6) En admettant que √   n n n!∼2nπ(7) n→+∞ e q N montrer que :E(X N )∼2 . π n→+∞ c)On appelleY N valairaederbmonrsnobnobdanttaesns´laelbaepeerotripournanturlevale l’autreboˆıtelorsqu’unepremi`ereboˆıteestvide´e(etnonlorsqu’onde´couvrequ’elleestvide). De´terminerlaloideY N . d)tie´balirpboeraleduiEnd´p N ame`ire`etpaslapr´eenesoirteˆdiveıˆoba`etmirere`equapel ˆetretrouve´evide.

Montrer que : N C 2N−1 p N = 2N 2 1 puis,`al’aidedel’´equivalent(7),quep N ∼ √ . n→+∞ 2N π

PROBLEME 2

(8)

Partie 1 Onconsid`erel’espacevectorielE=R 5 [Xge´ua`lanO.5etonmesdynˆospol]deueore´iriefnge´rE 1 l’ensembledespolynoˆmesimpairsdeEetE 2 ylopsedeapsemoˆnesdirl’ensemblE.Oegnsi´end k pare k , (0≤k≤)5eld´eemeisq´ueelaenloanbnatssedcEde sorte quee k (X) =X. On nommera pareillement “base canonique” deE l (resp. deE 2 ) la base (e 1 , e 3 , e 5 ) (resp. (e 0 , e 2 , e 4 )) deE 1 (resp.E 2 ). 1)Justifier queE 1 etE 2 upsselrintme´eplapse-suootcevsecseuxsontdiaerdseEa-direc,e’ts`- E=E 1 ⊕E 2 . 2)a)Montrer que l’applicationσmeˆoyqnuolattpio`uP∈E 2 meoˆnylopeleicossaσ(Pefini)d´ par 200 0 σ(P)(X) = (X+ 1)P(X)−XP(X) (1) d´efinitunendomorphismedeE 2 . b)Donner la matrice deσdans la base canonique (e 0 , e 2 , e 4 ) deE 2 . c)reim´Dteneyoenlraudeσ, ainsi que ses valeurs propres et ses vecteurs propres. d)σ?est-il diagonalisable 3)a)Montrer que l’applicationsloptoˆnyemqui`atouP∈E 2 sacisoepelynolmeˆos(P´dfie)rinap 200 0 s(P)(X) = (X−1)P(x) +XP(X) (2) de´finitunendomorphismedeE 2 . b)Donner la matrice desdans la base canonique (e 0 , e 2 , e 4 ) deE 2 . c)oyaurlenmineeter´Deds, ainsi que ses valeurs propres et ses vecteurs propres. d)sest-il diagonalisable? 0 4)ationqui`atoutposndie`er’lpalpcicoOnemoˆnylP∈Eynolepel2meˆoicossaXP(X)−P(X). a)Montrer que la restrictionfde cette application au sous-espaceE 2 nlpcitaoinituneapd´efi line´airedeE 2 dansE 1 . b)noqicsnaseepeursesdectivabeslssednnataoiplicteapeceticedrtamalrenimrete´DE 2 et E 1 . c)Montrer quefest un isomorphisme. Partie 2 SoitEun espace vectoriel surRargnep´esi.Ondn´nnoseceriasnemeedtdenimonsiiefinE 1 et E 2 eesorteque-psossuedxusulsieorctveesacd,seriatneme´lppE=E 1 ⊕E 2 ngperaO.dne´iss un endomorphisme deE 2 et parfvetiecijdeialennouiiltpapcberiae´nE 2 dansE 1 . Ax∈E s’´ecrivantx=x 1 +x 2 u(,o`x 1 , x 2 )∈E 1 ×E 2 , on associe −1 F(x) =f(x 1 ) +f(x 2 ) +s(x 2 ) (3) 1)a)Prouver queFest injective. b)Prouver queFest surjective (on ne suppose PAS queEest de dimension finie) et exprimer −1 F(y,)u`oy=y 1 +y 2 ∈Eet (y 1 , y 2 )∈E 1 ×E 2 2

2)a)On suppose queFadmet une valeur propreλ∈R. Soitx6sseaprroe,i´ocnu0=pruetcev de´compos´eenx=x 1 +x 2 o`u(x 1 , x 2 )∈E 1 ×E 2 . Prouver quex 1 etx 2 sont non nuls et que x 2 est vecteur propre des. b)e´icReuqesopupns,ontmeueoqprsenutemdalleoprer´eevaleurprµ. Prouver queFadmet aumoinsunevaleurproprere´elleλte´D.urenimreurteecnvdereopprFco´iass`eaλen fonction d’un vecteur proprex 2 des´eci`aossaµ. c)Montrer que siu 1 , . . . , u k sont des vecteurs propres desenepd´ine`aunse´icossatestnad mˆemevaleurpropreµdes, alors les vecteurs propres deFl´essontentcalcue´cemmed´rp ind´ependants. Onsupposede´sormaisEdedimensionfinie,etonposen= dimE 1 3)a)Justifier que dimE 1 = dimE 2 =net dimE= 2n. b)Soientµ 1 , . . . , µ p leel´esrreopprrsuelavselsdistinctesdes. Prouver queFadmet 2pvaleurs propresre´ellesdistinctes. c)Montrer que sisest diagonalisable,Fl’est aussi. Partie 3 1)tteceuqedeirsen`soncandOiostnE=R 5 [X] et les applicationssetfeitrasdanslapd´efinie 1. De´terminerlesvaleurspropresdel’applicationFdantsponorrecd´e(niefianedapslitra.)2e 2):locsucsantdemaladease´decirtbrapeinfiireappliquerlesre´ustltaps´rcee´nOse´d     0 2–1 0I 3   A= rmou`B= 20 1 I 3 B –2 2 1 etou`I 3 eunitriclamaigne´dse.3erdro’de´t a)Donner les matrices des applicationssetftantd’appermets`nuatstateob´rseluseqilplreu la partie 2. b)La matriceA?est-elle diagonalisable

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