Mathématiques 2001 Classe Prepa HEC (ECS) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.

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Publié par	bankexam
Publié le	18 mars 2007
Nombre de lectures	458
Langue	Français

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Programme ESC d’E.M.LYON CONCOURS D’ENTREE 2001

MATHEMATIQUES 1e`ree´preuve(optionscientiﬁque)

Lescandidatsnedoiventpasfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautoris´ee.

Proble`me1 1 1 On noteI= [−; ]. 2 2 Lebutduproble`meestlaconstructiond’uneapplicationf:I7→R, continue et telle que: x Z 1 2 ∀x∈I, f(x) = 1 +(f(t) +f(t))dt 2 0 Onconside`relesapplicationsfn:I7→R, pourn∈Nd´eﬁniesrap,f0ga´eteanstonnciotacilppa(1=ela` 1) et: x Z 1 2 ∀n∈N,∀x∈I, fn+1(x) = 1 +(fn(t) +fn(t))dt 2 0 1. (a) Montrerque, pour toutn∈N,fnest une application polynomiale. 2 3 x x (b)V´eriﬁerque,pourtoutx∈I, f1(x) = 1 +xetf2(x) = 1 +x+ +, et calculerf3(x). 4 6 × 2. Pourtoutn∈N, la fonction continue|fn−fn−1|aroenus´pmdtenubeurerieuresI. On noteDn= sup|fn(x)−fn−1(x)|. x∈I (a) CalculerD1etD2. 1 × (b) Montrer:∀n∈N,∀x∈I,|fn+1(x)−fn(x)| ≤Dn. 2 1 1 Onpourra´etudierse´par´ementlescasx∈[0; ]etx∈[−; 0]. 2 2 1 × (c)Ende´duire:∀n∈N, Dn≤. n 2 P ´ (d)Etablirlaconvergencedelase´rieDn. n≥1 P End´eduireque,pourtoutx´xﬁnadesIeri(,l´easfn(x)−fn−1(x)) converge. n≥1 ´ 3. Etablirque, pour toutxﬁxe´adsnI, la suite (fn(x))n∈Nconverge. Onde´ﬁnitainsiuneapplicationf:I7→Rpar:∀x∈I,f(xlim) =fn(x). n→+∞ 1

4. Onnote, pour toutn∈N, Mn= sup|fn(x)|. x∈I 1 × (a) Montrer:∀n∈N, Mn≤1 +Mn−1. 2 (b) Montrer:∀n∈N, Mn≤2. ´ 2 (c) Etablir:∀n∈N,∀(x,y)∈I ,|fn(x)−fn(y)| ≤2|x−y|. 5. ´ 2 (a) Etablir:∀(x,y)∈I ,|f(x)−f(y)| ≤2|x−y|. (b)Ende´duirequefest continue surI. 6.   1 1 × × ´ (a) Etablir:∀x∈I,∀n∈N,∀p∈N,|fn+p(x)−fn(x)| ≤1−. n p 2 2 1 × (b)Ende´duire:∀x∈I,∀n∈N|f(x)−fn(x)| ≤. n 2 x 1R 2 7.End´eduire:∀x∈I, f(x() = 1 +f(t) +f(t))dt. 20 Probl`eme2 Rappel: n Pour tout entiern≥uaeq’´1,lontiz= 1, d’inconnuezant`rtenappaaC, admet exactementnracines complexes distinctes qui sont 2π iθ2iθ i(n−1)θ 1, . . . ,e, e, eavecθ= n D´eﬁnitions: SoitEun espace vectoriel surC. – OnnoteidEl’application identique deE. 0 – Pourtout endomorphismefdeE, on notef=idE, et pour tout entier naturelk,fk+1=fk◦f. × – Soitp∈N. On dit qu’un endomorphismefdeEest cyclique d’ordrepnet´lmenue´sietilexs’x0de Eiuavtnsessnoitidnocsiortestlaniﬁerv´ p ∗f(x0) =x0, p−1 ?la famille (x0,f(x0), . . . ,f(x0)e)g´st´eencidearrteE,  p−1 ?la famille (x0,f(x0), . . . ,f(x0`auxuxdeenemdets.stsidtcniu´itstonl´´ed’eectse)) p−1 La famille (x0,f(x0), . . . ,f(x0clcyuneel´peaprs))seatoledef.

Etude d’un exemple Dans cette partie,Eest un espace vectoriel surCde dimension 3, etB= (e1,e2,e3) est une base deE. On conside`rel’endomorphismefdeEdotrmalantsscociaeadsn´ieeselabaBest:   1 2 2   A= 1 1 2 −2−2−3 2 1.Ve´riﬁerque(e1,f(e1),f(e1)) est une base deErete´dteaosice´`eatriceasminerlamferalitmeve`ant cette base. 2 3 2. Montrerquefest cyclique d’ordre 4 et que (e1,f(e1),f(e1),f(e1)) est un cycle def. 4 3. Montrerquef=idE. 4. Montrerquefetd´mierntnaebungaidlanobasineeleedeasstE´etutinscoesderporpsruetcevedef. 2

Casge´n´eral Dans cette partie,Eest un espace vectoriel surCde dimensionne,smhiconsetonernudie`omprneodf deEcyclique d’ordrep. p−1 Soit (x0,f(x0), . . . ,f(x0)) un cycle def. 1. Montrer:p≥n. p 2. Montrerquef=idEeuqeriude´dnE.fest bijective. k−1 3. Onnotemle plus grand des entiers naturelsktels que la famille (x0,f(x0), . . . ,f(x0)) est libre. m−1 (a) Montrerquefm(x0´nilnosisederiaees)nabiomtcmvecteursx0,f(x0), . . . ,f(x0) k (b)Montrer,parre´currence,quepourtoutentiernaturelkspue´irueor´ugelaa`m, le vecteurf(x0) m−1 estcombinaisonline´airedesmvecteursx0,f(x0), . . . ,f(x0) n−1 (c)Ende´duirequem=net que la famille (x0,f(x0), . . . ,f(x0)) est une base deE. 4. Onnotea0,a1, . . . ,an−1lesnnombres complexes tels que: n2n−1 f(x0) =a0x0+a1f(x0) +a2f(x0) +∙ ∙ ∙+an−1f(x0) 2n−1 (a)Onconside`rel’endomorphismegdeEeﬁd´panirg=a0idE+a1f+a2f+∙ ∙ ∙+an−1f. k n+k Montrer:∀k∈N, g(f(x0)) =f(x0). n2n−1 End´eduire:f=a0idE+a1f+a2f+∙ ∙ ∙+an−1f. n−1 (b)De´terminerlamatriceassoci´ee`afrelativeabes(emtna`alx0,f(x0), . . . ,f(x0sededia’la`)) coeﬃcientsa0,a1, . . . ,an−1. (c) Montrer:∀λ∈C,rg(f−λidE)≥n−1. End´eduirequelessous-espacespropresdefsont de dimension 1.

n−1 5. Onsuppose dans cette question quefest cyclique d’ordren( et dim(E) =n). Soit (x0,f(x0), . . . ,f(x0)) un cycle def.

n (a) Montrerque si un nombre complexeλest valeur propre def, alorsλ= 1. n−1 (b)De´terminerlamatriceassocie´e`afsa(elabaatelrt`enemivx0,f(x0), . . . ,f(x0)). (c) Montrerqueftseagdialonabisenle´dtereimantnnubeasedeEprrospurteecevedseconstitu´e def.