Mathématiques 2004 Classe Prepa HEC (ECO) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 198
• Langue: Français

Extrait

ECRICOME 2004 Voie Eco

1 EXERCICE

1 EXERCICE Soientfavaredeler´eiabl´dfieleelra:inpeafltcnonnoie´muuqir 1 ∀x∈R, f(x) = √ 2 1 +x et (u n ledse´etbmerrse´ar:rmin´eepsal)onedetiu ( R 1 u 0 =f(x)dx 0 R 1 ∗n ∀n∈N, u n =x f(x)dx 0   ~ ~ On noteC f estnrpe´aleruedephiqngraatiof,alrma`tnemevitalernohorteoerp`reunO, i, j.

1.1 Etudedef. 1. Montrerque la fonctionfest paire surR 2. Etudierles variations defsur l’intervalle [0,+∞[ 3.D´eterminerlalmitedeflorsquextend vers +∞. 4. Montrerquef´neeusrsebtroR 5. Donnerl’allure deC f 6. Montrerquefjebineeuisla´er0lle[reavi’tndnletcoi,+∞[ sur un intervalleJ.sirer´ec`ap 7. Pourtoutyde l’intervalle ]0,1],’unqiuer´eelte´dlrenimrexalrv[0leappraetantna`’lniet,+∞[ tel que : f(x) =y −1 8.De´termineralorslabijectionre´ciproqief

1.2 Calculd’aire Onconside`relafonctionnume´riqueFee´rellvariabledelaxfie´dpein:ar   √ 2 F(x) = lnx+x+ 1 Pourtoutr´eelλstrictement positif, on noteA(λe(pxiaereeneir´m)l’iamoocenitsne´utitund’´ereaiud)d par l’ensemble des pointsM(x, y) tels que : λ≤x≤2λet 0≤y≤f(x) ainsi Z 2λ A(λ) =f(x)dx λ

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1.3 Etudede la suite(u n ).2 EXERCICE 1. Montrerque : √ 2 ∀x∈R, x+x+ 1>0 End´eduirel’ensembledede´finitiondeF. 2. MontrerqueFest une primitive defsurR 3. MontrerqueFestiresimpafin´eioitn.osrusnenlbmedede 4.De´terminerlalimitedeFlorsquextend vers +∞.lamitideeEnd´eduirelFquandxtend vers−∞ 5. ExprimerA(λ) en fonction deλet calculer la limite deA(λ) lorsqueλtend vers +∞.

1.3 Etudede la suite(u n ). 1. Calculeru 0 etu 1 . 2.Effectueruneinte´grationparpartiesetcalculeru 3 . 3 x x 2 (On pourra remarquer que √ =x √ ) 2 2 1 +x1 +x 3.D´eterminerlesensdevariationsdelasuite(u n ). 4. Montrerque la suite (u n (On ne cherchera pas sa limite dans cette question)) est convergente. 5. Justifierl’encadrement suivant : n x n ∀x∈[0,1],∀n∈N,0 ≤ √ ≤x 2 1 +x ende´duireque: 1 ∗ ∀n∈N,0≤u n ≤ n+ 1 6.De´termineralorslalimitedelasuite(u n )

2 EXERCICE Danscetexercice,one´tudiel’exponentielled’unematricepourunematricecarr´eed’ordre3,puisd’ordre 2.

2.1Exponentielled’unematricecarre´ed’ordre3. SoientAetPpar:niesd´efiirecmstael    1 11 21 1    A= −1 1−1 , P= −1 2−1 −2 0−2 1−1 1

−1 1. Montrerque la matricePestinvererete´nimrlbisdteeP −1 2. OnposeT=P .P A

a) Calculerla matriceT 2 3n b) CalculerT ,T ,puisTpour out entier natureln≥3.

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2.2Exponentielled’unematricecarre´ed’ordre2.2EXERCICE 3.Ende´duireque: n ∀n≥3, A= 0 ou`0d´esignelamatricenulled’ordre3. 4.Pourtoutre´elt,nod´efintlamatriceE(t) par : 2 t 2 E(t) =I+tA+A 2 o`uIalenrtamueci´tin’oedrerd3.d´esig a) Montrerque : 020 0 ∀(t, t)∈R, E(t)E(t) =E(t+t) b) Pourtouttlccal,ee´rerulE(t)E(−t).d´eduireEnirecuqlemataE(tblsitdeetiesernvre)ete´nimr 2 son inverse en fonction deI, A, A , t. n 2 c) Pourtouttrtoutpleeer´lerutanreitnetuon,´dreteenim[rE(tfonction de)] enI, A, A , tet n.

2.2Exponentielled’unematricecarre´ed’ordre2. SoientBetDsparfinie:mstaeldse´irec    0−01 1 B=, D= 2 30 2 Pour tout entier naturelntu´reeletpourtononnul,t,odne´nfieictrmalaitE n (t) par : n   k X t ) k a n (t)c n (t E n (t) =Bque l’on noteE n (t) = k! b n (t)d n (t) k=0 1. MontrerqueBest diagonalisable. 2.De´terminerunematriceQd’ordre 2, inversible telle que −1 Q BQ=D

3. Pourtout entier natureln,montrer que :   n n n 2−2 1−2 B= n+1n+1 2−2 2−1

4. Montrerque : n k k X 2t−(2t) ∀n∈N, a n (t) = k! k=0 exprimerdemˆemeb n (t), c n (t), d n (t) sous le forme d’une somme. 5.De´terminerleslimitesdea n (t), b n (t), c n (t), d n (t) lorsquentend vers +∞. 6. Pourtouttl,eepoonalses:or´r  ! lima n (t) limc n (t) n→+∞n→+∞ E(t) = limb n (t) limd n (t) n→+∞n→+∞

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3 EXERCICE a) Montrerque   t2t t2t 2e−e e−e E(t) = 2t t2t t 2e−2e2e−e b)D´eterminerlesmatriceE 1 etE 2 ,telles que pour touttre´ia:tleno t2t E(t) =e E 1 +e E 2 2 2 c) CalculerE , E , E 1 E 2 , E 2 E 1 . 1 2 d)End´eduirequepourtoutt,re´leE(te.e)tsetd´etleibrsveinsrevninosrenimre

3 Exercice Unepersonneenvoiechaquejouruncourrier´electroniqueparl’interme´diairededeuxserveurs:leserveur Aou le serveurB. On constate que le serveurAest choisi dans 70% des cas et donc que le serveurBest choisi dans 30% des cas.(Cequirevienta`direquelaprobabilite´pourqueleserveurAsoit choisi est de 0.7). Leschoix des serveurssontsuppose´sinde´pendantslesunsdesautres. 1.Danscettequestion,onsupposequelaprobabilit´ed’uneerreurdetransmissionavecleserveurA est de 0.1uresclveeraborpaleuqsrola,eurd’errt´edbilianevssoisnimtearBest de 0.05. a)Calculerlaprobabilit´epourqu’ilyaituneerreurdetransmissionlorsdel’envoid’uncourrier. b)Silecourrierasubiuneerreurdetransmission,quelleestlaprobabilite´pourqueleserveur utilis´esoitleserveurA? 2.Unjourdonn´e,appel´elejour1,onnotelesdiffe´rentsserveursutilise´parl’ordinateurparunesuite de lettres.Par exemple, la suiteAABBBA . . .signifie que les deux premiers jours l’ordinateur a choisi le serveurA,4 et 5 il a choisi le le serveurles jours 3.B, et le jour 6 le serveurA. Danscet exemple,onditquel’onaunepremi`eres´eriedelongueur2etunedeuxie`mese´riedelongueur3(Ce quiest´egalementlecasdelas´erieBBAAAB . . .) On noteL 1 ieete`re´srelepaerimlealriablavardeuguonaltlanntese´rpereriotae´L 2 variablelaere´laiota repre´sentantlalongueurdeladeuxi`emese´rie. Ainsi, pourk≥1,dire queL 1 =ksignifie que pendant leskc,e’tselˆmmeserepremiersjoursurve quia´et´echoisietlejourssuivantl’autreserveur. a) Jusitifiersoigneusement la formule : k k ∀k≥1P(L 1 =k) = (0.3) (0.7) + (0.7) (0.3) b)V´erifierparlecalculque +∞ X p(L 1 =k) = 1 k=1 c)De´terminerl’espe´rancemathe´matiquedeL 1 . d)D´eterminerlaloiducoupleale´atoire(L 1 , L 2 ). e)Ende´duirelaloideL 2

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