Mathématiques 2004 Classe Prepa HEC (S) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 242
• Langue: Français

Extrait

Ecricome 2004, option scientifique. EXERCICE 1 M n (Rieldctortricesmarre´seacrordse’ded´)gise’lenapseevecneffico`ar´tsenci(sleen>1) etE l’espacevectorieldespolynˆomes`acoefficientsre´elsdedegr´einfe´rieuroue´gal`an−1. Onconside`reunematriceSdeM n (R) admettantn´reesorplpererlseusalvλ 1 , λ 2 , . . . , λ n distinctes deux`adeux. L’objet de l’exercice est de montrer que, sikest un entier naturel impair et si une matriceAde k M n (R) commute avecS, alors elle commute avecS. Dansladerni`erequestionon´etudierauncontre-exemple. −1 1)Justifier l’existence d’une matricePinversible telle que la matriceP SPsoit une matrice Ddiagonale. Dans la suite de l’exercice un entier naturel impairk´efix.ets n 2)Oonncd`silereppa’acilnoitfdeEdansR`itauqˆomeolynoutpTfait correspondre le n vecteur deRniefid´ap:r   k kk f(T) =T(λ), T(λ), . . . , , T(λ) 1 2n a)Montrer quefest un isomorphisme d’espaces vectoriels. b)uqpeuninoˆemlonyexisrel’ed’utenciude´dnEUdeEtel que : k kk U(λ ,. . 1 =λ 1 , U(λ 2 ) =λ 2 . , U(λ) =λ n n k 3)vureuqlepelonyoˆPermoRrapinfie´d,R(X) =U(X)−Xpounsterdetauennlumoaeylˆn Dpuis deS. k k 4)Soit une matriceAdeM n (Ranifit)erv´AS=S A. pk pk a)Montrer que pour tout entier naturelp,AS=S A. b)esiceseltrmadeiueruqnE´dAetSue:ireq`a-d’c,t-tsemmocnetuAS=SA. 5)esictrmauxdeesreleis`dcnnoOAetSdeM 2 (R) suivantes :    1 –10 1 A=, S= 2 21 0 a)euV´erifierqSet.sitcnp`ssodedevxueeualprrsreopissd b)Montrer queAcommute avec toute puissance paire deS, mais ne commute pas avecS. EXERCICE 2   π1 Onconside`relafonctionfi’tnreavnfieiuslrd´eellI= 0,par :f(x) = 4 cosx  π  I 0 =  4 Z π ainsiquelasuiter´eelle(I n ) n∈N suivante : 4   n  ∗  ∀n∈N, I n =f(x) dx 0 Partie 1edeuqijectionr´eciprotEdudelebaf. 1)Montrer quefear´ebunseliitnojiceedIdans un intervalleJa.Oniserqru´eelc’onponet −1 fe.quroipecr´onceitbajil −1 2)sdveeenestitaemeˆmelrusrennoDel’allurgraphiquebrspe´rdeseocrufet def.    1 −1   cosf(x) = x r 3)Justifier que :∀x∈J,   1  −1  sinf(x1) =− 2 x −1 4)Montrer quef´drevibaelusrsteJ\ {1}et montrer que :   0 1 −1 ∀x∈J\ {1}, f(x) = √ 2 x x−1 √ −1 5)Ed´eend2nee´timiltnemepplove´eedelirdufre1.’ord`al

Partie 2ed´eridesdtudeEviseecsssscu´veef. ∞(n) 1)Justifier quefest de classeCsurI, on notefd´eriv´eealned-i`emefsurI. 2)Montrer que pour tout entier naturelnnnluonxist,ileolyneˆuomnepP n tel que : (n) P n (sinx) ∀x∈I, f(x) = n+1 cos (x) 3)nylopselrenimret´eDˆomesP 1 etP 2 . ∗20 4)Montrer que :∀n∈N, P n+1 = (1−X)P+ (n+ 1)X.P n n Ende´duirelepolynoˆmeP 3 . 5)eltnetuotrrutanreitermD´e,pouinernnuonngrdelel,ominantdue´teelocffieicnedt polynˆomeP n . Partie 3eleduiasd’tet´indutEs.leraeg 1)Justifier que la suite (I n ) n∈N ´efiniendestbelrlauceiC.I 2 . ∗ 1a b 2)rlner´esetD´miersleeaetb, tels que :∀t∈R\ {−1,1},= + . 2 1−t1−t1 +t 3)En posantt= sinxnemieret´d,rI 1 . 4)imenterenedslrseiatievarlasuonde(etiD´I n ) n∈N . ∗ Z π 4 1 11 ∗ 5)Montrer que :∀n∈N, I n >dx>   n2 cosx n n π π1 1 4 2 cos− 2 − n 4n End´eduirelecomportementdelasuite(I n ) n∈N lorsquentend vers +∞. ∗  √  n 2 n 6)Montrer que :∀n∈N, I n+2 = +I n . n+ 1n+ 1 ` PROBLEME

PartieI:Etuded’unevariablediscr`eted’universimagefini. Deux urnesAetB, initialement vides, peuvent contenir respectivement au plusnetmboules (n>1, m>1). Ons’int´eresseauprotocolesuivant •On choisit l’urneAclaprobabilit´eaevp∈]0,1[, l’urneBobprlaec´eitilabvaq= 1−p. •On met une boule dans l’urne choisie. •asripeuots´nceseisqu’iletantdefouerpuaevtecee´et´enretp`Osneuresedunl’uerqAouB soitpleine,c’est-`a-direcontiennenboules pour l’urneAou contiennemboules pour l’urneB, leschoixdesurnes´etantmutuellementind´ependants. A.Pr´eliminaires. Onde´finitlasuitedetermege´n´erala n par : √ n nC 2n a n =n>1 n 4 a n+1 1)Calculera 1 et, pour tout entiern>1, le rapport. a n r n 2)rD´teouientuqpeuotrmenortren>1 :a n 6. 2n+ 1 3)Donner le sens de variation de la suite (a n ) n∈N ee´rlnverlecorsungeveomtn,te’uleerqr` ∗ 1 1 tel que :6`6 √ . 2 2 1 On admet que`= √ . π 2

B. Etude de cas particuliers. 1 Dans cette partie seulementm=netp=q= . 2 On noteR n al´eatoivariableuaonbmerere´agelalssdanenuentmeleeltuenev(´tnocseluobed)lun l’urnequin’estpaspleine,`al’issuedel’exp´erience. 1)Donner les lois deR 1 ,R 2 etR 3 . Justifier vos calculs. 2)erl’esp´eranceetaCclluavalnairedecR 1 ,R 2 etR 3 . Danstoutelasuiteduprobl`emen>2.

3)Quel est l’ensembleR n (Ω) des valeurs prises par la variableR n ? 4)Soitktrnena`tpaapimrseag’ualveniR n (Ω). a)iubcalbaolrrepla’uqe´Ctilsuisl’`au(edn−1 +ke`em)i-eg’litarurneAcontiennen−1 boules et l’urneBcontiennekboules. b)Dnoenarolsralprobabilit´eP([R n =k]). 5)erifierV´euq ∀k∈[0, n−2]],2(k+ 1)P([R n =k+ 1]) = (n+k)P([R n =k]) 6)timadeonPaomrsuqno´rpieralitalnd´eduirec`ede,eqeeu E(R n ) =n−(2n−1)P([R n =n−1]) 7)rsun´equonneraloeDlavidtnen−E(R n ) quandntend vers plus l’infini. 8),monogueanal¸coneDaf:euqrert 2 E(R n ) = (2n+ 1)E(R n )−n(n−1) 9)pxerssoidneEnd´eduirel’eV(R n ) en fonction denetE(R n ). 10)are´pse’edecnectdanttrllecualaPcsagegreemlap,rithalgonlanme,eircEnuerR n , l’entier nte´dtnataue.rutl’isiln´onarep

C.Retouraucasg´ene´ral. 1 On abandonne les conditionsm=netp=q= . 2 1)En utilisant un argument probabiliste, montrer que : n−1m−1 X X m k m−1 n k n−1 q pC +p qC =1 (1) m−1+k n−1+k k=0k=0 m−1 X k n−1 2)On poseu m =qC . n−1+k k=0 a)Etudier le sens de variation de la suite (u m ) m∈N elatelaridedal’aen`rdtnoenu)1(noi ∗ majorant deu m ntdaenepd´neapdsem. Etablir alors la convergence de la suite (u m ) m∈N . ∗ m−1 b)Pourk∈[0, n−nedtvilaCedonn1]],´equerunqursloemtend vers +∞. m−1+k c)avelruedalilimetel’existenceetlaEriude´dnivsutean: n−1 X m k m−1 limq pC m−1+k m→+∞ k=0 1 d)limProuver alors que :u m = . n p m→+∞ 3