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Mathématiques 2004 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC
3 pages
Français

Mathématiques 2004 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC

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Description

Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

Mathématiques
2004

Informations

Publié par
Publié le 18 mars 2007
Nombre de lectures 133
Langue Français

Extrait

EXERCICE 1
On donne les matrices :
-
-
-
=
1
6
3
3
4
3
3
6
5
2
1
A
,
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
I
,
-
-
=
1
0
0
0
1
0
0
0
2
D
et
-
=
1
1
1
1
0
1
1
1
1
P
.
Partie A
1. Montrer que la matrice
P
est inversible et calculer sa matrice inverse. Vérifier que
=
-
-
2
1
2
1
1
1
0
0
1
P
.
2.
(a) Donner
n
D
en fonction de
n
pour tout entier naturel
n
.
(b) En déduire l'expression de
-
0
0
1
1
P
D
n
en fonction de
n
.
3.
(a) Vérifier que
1
-
=
PDP
A
puis montrer par récurrence que pour tout entier naturel
n
:
1
-
=
P
PD
A
n
n
.
(b) En déduire l’expression de
0
0
1
n
A
en fonction de
n
pour tout entier naturel
n
.
Partie B
Les suites (
n
x
), (
n
y
) et (
n
z
) sont définies par les conditions initiales
1
0
=
x
,
1
0
=
y
et
0
0
=
z
et
par les égalités :
-
+
+
-
=
-
+
+
-
=
-
+
+
-
=
+
+
+
3
2
1
3
2
3
1
2
3
2
2
3
3
2
3
3
2
5
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
z
y
x
z
z
y
x
y
z
y
x
x
pour tout entier naturel
n
.
On pose
-
-
-
=
3
1
3
B
et pour tout entier naturel
n
:
=
n
n
n
n
z
y
x
X
.
1.
Justifier pour tout entier naturel
n
l’égalité :
B
AX
X
n
n
+
=
+
1
relation (1)
2.
On se propose de trouver la matrice colonne
)
(
1
,
3
R
I
U
∈
telle que :
B
AU
U
+
=
relation (2)
(a)
Montrer que la relation
(2)
équivaut à
B
U
A
I
=
-
)
(
.
(b)
Calculer la matrice
)
(
A
I
A
-
. En déduire que :
AB
U
=
-
2
puis , que
=
0
1
0
U
.
3.
(a)
A l’aide de s relations
(1)
et
(2)
, montrer que :
)
(
1
U
X
A
U
X
n
n
-
=
-
+
.
(b)
En déduire, par récurrence, que pour tout entier naturel
n
on a
:
)
(
0
U
X
A
U
X
n
n
-
=
-
.
4. En utilisant l’expression obtenue dans la
partie A
, question 3(b) , calculer
n
x
,
n
y
et
n
z
, en fonction de
n
.
EXERCICE 2
On considère la fonction
f
définie sur
R
I
par
>
=
≤
≤
=
<
=
4
si
2
)
(
4
0
si
8
1
)
(
0
si
0
)
(
2
t
t
t
f
t
t
f
t
t
f
1.
(a)
Vérifier que
f
est positive.
(b)
Montrer que
f
est continue au point
t
= 4.
(c)
Déterminer la limite de
f
lorsque
t
tend vers
∞
+
.
(d)
Calculer la dérivée
)
('
t
f
pour
4
>
t
et donner son signe.
(e)
Donner l'allure de la courbe repr
ésentative de
f
dans un repère orthogonal d'unités
1cm
en abscisse et 16cm
en ordonnée.
Placer sur cette courbe les points d'abscisse
8
,
2
,
2
=
=
-
=
t
t
t
.
2.
(a)
Soit
x
un réel supérieur ou égal à
4. Calculer
∫
x
dt
t
f
4
)
(
.
En déduire que l'intégrale impropre
∫
∞
+
4
)
(
dt
t
f
converge et vaut
2
1
.
(b)
Calculer
∫
∞
+
0
)
(
dt
t
f
3. La fonction
f
étant nulle sur
]
[
0
;
∞
-
, on définit sur
R
I
la fonction
F
par :
Pour tout réel
x
,
∫
∞
-
=
x
dt
t
f
x
F
)
(
)
(
.
(a)
Montrer que
1
)
(
lim
=
+∞
→
x
F
x
.
(b)
On considère une variable aléatoire à densité
X
dont la fonction de répartition est
F
.
Montrer que la variable aléatoire
X
n'admet pas d'espérance
.
(c)
Déterminer
)
4
5
(
,
)
4
3
(
,
)
4
(
/
>
≤
≤
<
>
X
X
P
X
P
X
P
( probabilité conditionnelle ).
(d)
Résoudre l'équation d'inconnue réelle
x
:
4
3
)
(
=
x
F
.
EXERCICE 3
Les parties A et B sont , dans une large mesure , indépendantes.
On suppose que
N
est un entier naturel non nul fixé et on lance une pièce équilibrée
N
fois de suite.
On note
X
la variable aléatoire réelle égale au rang où apparait
PILE
pour la première fois , et on
convient que si
PILE
n'est pas apparu au cours des
N
lancers , la variable
X
prend la valeur 0.
Ainsi :
=
=
k
X
k
X
N
,
rang
au
fois
première
la
pour
apparu
est
PILE
si
0
,
lancers
des
cours
au
apparu
pas
est
n'
PILE
si
Partie A : Etude de la loi de
X
.
1. Montrer que l'univers image
)
(
Ω
X
est
{
}
N
,
,
1
,
0
.
2. Déterminer
)
0
(
=
X
P
.
3. Montrer que pour tout entier naturel
k
de
{
}
N
,
,
1
,
k
k
X
P
2
1
)
(
=
=
.
Partie B : Calcul de l'espérance mathématique de la variable
X
.
O
n considère la suite numérique
N
I
n
n
u
∈
)
(
définie par les relations suivantes :
-
+
=
=
+
1
2
,
naturel
entier
tout
Pour
1
1
0
n
u
u
n
u
n
n
1.
(a)
Montrer que
2
et
1
2
1
=
=
u
u
. Calculer
3
u
.
(b)
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel
n
,
1
≥
n
u
.
(c)
En déduire sans récurrence que pour tout entier naturel non nul
n
,
n
u
n
≥
.
Déterminer la limite de la suite
N
I
n
n
u
∈
)
(
lorsque
n
tend vers
∞
+
.
(d)
Montrer que la suite
N
I
n
n
u
∈
)
(
est croissante.
2. Dans cette question on examine une suite
N
I
n
n
v
∈
)
(
définie à partir de
N
I
n
n
u
∈
)
(
:
On pose pour tout entier naturel
n
,
n
n
u
n
v
+
=
.
(a)
Exprimer
1
+
n
v
en fonction de
n
et
n
u
.
(b)
En déduire que la suite
N
I
n
n
v
∈
)
(
est géométrique et exprimer, pour tout entier naturel
n
,
n
v
en fonction de
n
uniquement.
(c)
Montrer enfin que pour tout entier naturel
n
,
n
u
n
n
-
=
2
.
3.
(a)
En reprenant la définition de
N
I
n
n
u
∈
)
(
, montrer que pour tout entier naturel
n
:
n
n
n
n
n
n
u
u
2
2
1
2
1
1
1
+
-
=
-
-
+
.
(b)
En déduire par récurrence sur
n
que pour tout entier naturel
n
non nul
∑
-
=
-
=
-
1
0
1
2
2
1
n
k
k
n
n
k
u
.
(c)
Montrer finalement sans récurrence que pour tout entier naturel non nul
n
:
1
1
0
2
1
2
2
-
-
=
+
-
=
∑
n
n
k
k
n
k
.
(d)
En déduire en fonction de
N
l'espérance de la variable aléatoire
X
.
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