Mathématiques 2006 Classe Prepa MPSI Ecoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes

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Concours du Supérieur Ecoles des Mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2006

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 16 mars 2008
• Nombre de lectures: 95
• Langue: Français

Extrait

CONCOURS COMMUN 2006 ´ ` DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES ´ EpreuveSp´ecifiquedeMathe´matiques (fili`ereMPSI) Vendredi12mai2006de08h00`a12h00 ——————————————————————— Instructionsg´en´erales: Lescandidatsdoiventv´erifierquelesujetcomprend4pagesnume´rot´ees1/4,2/4,3/4,4/4. Lescandidatssontinvit´es`aporteruneattentionparticuli`erea`lar´edaction:lescopiesillisiblesoumal pr´esente´esserontp´enalise´es. Lescandidatscollerontsurleurpremie`refeuilledecompositionl’e´tiquettea`code`abarrescorrespondante.

L’emploi d’une calculatrice est interdit.

Bare`meindicatif:10pointspourchaqueproble`me Probl`eme1:Analyse k∗ Danstoutleprobl`eme,onadoptelanotation`n(x)( aveck∈Netx∈]0,+∞[)octureecrimme´ k 0 simplifie´edunombrer´eel(`n(x))et par convention, on pose :`n(x) = 1( y compris six= 1).

Partie1:´etuded’unarcparam´etr´e 3 2 Pourtoutnombrere´elstrictementpositift, on pose :x(t) =t.`n(t)ety(t) =t.`n(t). Onpose´egalementx(0) =y(0) =λ∈R. Onsouhaite´etudierl’arcparame´tre´f:t7→(x(t), y(t)). Leplanusueldelag´eom´etrieestmunid’unrepe`reorthonormalR= (O,~ı, ~). + SoitCedceosoprodionntesndsuepmlbanlde’l´nees(x(t), y(t))lorsquetecd´triR.

1)Pour quelle valeur deλles fonctionsxetysont-elles continues en0? On suppose dans la suite queλprend cette valeur. 0 0 2)renirus,D´eterm]0,+∞[s´veel,foestincsdonri´exety.iu´spierletudigneeurs 3)tcnosnoisddexfeuatrinsioennoDmnusnadrbltameˆevaesuleaxety. Dans ce tableau devront figurer les limites aux bornes, ainsi que les valeurs dexetyaux points particuliers. n n Cesvaleursserontdonne´essousl’unedestroisformessuivantes:nbien avec, oun∈Z. 2 3 e e 4)or,luerqnoleuesqertnoM´reebmerluest au voisinage du nombre0, on a :   3 23 x(1 +u)∼u y(1 +u) =u+o u Ende´duirequel’uniquepointsingulierdel’arc,obtenupourleparame`tret=t 0 rmteerin`´eadtse,nu pointderebroussementdontonpr´eciseralanature.Repr´esentersurunsch´ema,sanse´tudesuppl´ementaire, l’allure deClorsquetest au voisinage det 0 er.gu,litmseiennniopuaetnegnatalceenidevn´teantt y(t) 5)mitiellsnireetmrD´eeloesqursttend vers+∞puis vers0a`(oinelafonctdroite)dt7→. x(t) Conclurequanta`lanaturedelabrancheinfiniedel’arcainsiquesurl’existenced’unedemi-tangente`a l’arcaupointdeparam`etret= 0. 6)a)etsrceitnDo´eedterminerlespointsd’inCavec la droiteΔoitand’qu´ey=x. 6)b)TracerCtie´runuihuqrgpa,enpntporena.cme4 −2−3 Ondonnelesvaleursapproche´essuivantes(`a0,01pr`es):e'0,14ete'0,05

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Partie 2 : calcul de primitives Soientαcndtsiiteedler´rnombune−1etxrtseuqnocleuqleer´rembnounpositif.ictement Z x 1 α n Pour tout nombre entier naturelnnelerbmoisnore`dle:rnece,´oZ n (x) =t `n(t)dt. n! 1 7)CalculerZ 0 (x)etZ 1 (x). 8)Dinrmte´ererenureletaoientnZ n+1 (x)etZ n (x). 9)Montrer : " #   n+1 n   n+1−k X k −1−1`n(x) α+1 Z n (x) =−x α+ 1α+ 1k! k=0 n 10)On noteNembl’ensldse´itnoofcndeseiefinurss]0,+∞[ivantdutypesu`alee´,selelavrsru α α x7→p(`n(x)).x ou`pesulpcaeoeu`(tnrscffieis)de´eel´eaudegrnofenutslopnoitcleiaomynnqcoelqun. n n Montrerquetoutefonctione´le´mentdeNamdteaumoinsuneprimitvi´elee´emtnedN. α α+1

Partie3:r´esolutiond’e´quationsdiff´erentielles Danstoutecettepartie,les´equationsdiff´erentiellesconside´r´eesseront,saufmentioncontraire,r´esolues sur]0,+∞[:cuqefio’lesiceingissiefin´esdontilurusseq´ere’intnnessnostcoifxno’uua]0,+∞[a`te valeursre´elles. Soitαnnubrom´eerdoelnne´. Onconsid`erelesdeux´equationsdiffe´rentiellessuivantes: 0200 02 (E 1 ) :x.y−α y= 0; (E 2 ) :x .y+ (1−2α)x.y+α y= 0 ou`yeelleriabler´uedelavaninonnocilppitaces’atlx >0tea`avels.leel´esrur 1 11)saesdeclionsonctlesfsetuotrenimrete´DCsur]0,+∞[ue`srvalallse´reetionsolusde(E 1 ). 2 12)a)Soith:]0,+∞[→Rune application quelconque de classeC. Ond´efinitalorsunenouvelleapplication: k:R−→R u u→7−k(u) =h(e) 2 Justifier quekest de classeCsurR. 0 00 Pouru∈R, exprimerk(u)etk(u)`al’aiir´veepsededdse´seetndcomirere`eedeh. 200 02 12)b)Montrer quehest solution de(E 2 )(ca--`st’e:ider∀x >0, x .h(x)+(1−2α)x.h(x)+α h(x) = 0) si et seulement si on a : 00 02 ∀u∈R, k(u)−2α k(u) +α k(u) = 0 12)c)ednoisseDprexl’erinrmte´ek(u)pouru∈Rlorsquehest solution de(E 2 ). 1 12)d)sedeulossne’lbmereuielquEnedd´tionsde(E 2 )est l’ensembleN(cf.partie 2) α 13)a)nOocoita:nl’applicnsid`ere ∞ ∞ P:C(]0,+∞[,R)C−→(]0,+∞[,R) 0 y→−7x.y−αy 1∗n+1n On pose :P=Pet pourn∈N,P=P◦P. ∞2 1 Poury∈ C(]0,+∞[,R), calculer(P◦P)(y)E.dne´udri:eP(y) = 0⇔y∈ N. α ∗n 13)b)Mrtnoapree´rrrrucquepenceoutourtn∈N,P(y) = 0tiuaeqe´erff´dionelleitneerdro’dtsnuen du type n−1 X n(n)k(k) x .y+a k x .y= 0 k=0 ( aveca 0 , . . . , a n−1 esr´eelsdesnombrre)inrmte´eads`paraehcrehcenno’leuq ∗n 13)c)Montrer que, pourn∈Nl’en,iff´erentielleedsne´’ltauqdnoimbsedeleolssioutP(y) = 0est n−1 N. α

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