Mathématiques 2006 Concours FESIC

Barbasso Edith

Description

Concours du Supérieur Concours FESIC. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2006

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 25 juillet 2008
• Nombre de lectures: 106
• Langue: Français

Extrait

CPE Lyon – ESA – ESA Purpan – ESCOM – ESEO – IGAL – ISA – ISAB 

ISARALyon – ISEN Brest – ISEN Lille – ISEN Toulon – ISEP – LOUIS DE BROGLIE

SELECTION FESIC

ADMISSION en 1ère ANNEE du 1er CYCLE 2006

EPREUVE DE MATHEMATIQUES Samedi 13 mai 2006 de 8h. à 10h.30 INSTRUCTIONS AUX CANDIDATS L'usage de la calculatrice estinterditainsi que tout document ou formulaire. L'épreuve comporte 16 exercices indépendants. Vous ne devez en traiter que 12 maximum. Si vous en traitez davantage,seuls les 12 premiersseront corrigés. Un exercice comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c, d. Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie (V) ou fausse (F). Un exercice est considéré comme traité dès qu'une réponse à une des 4 affirmations est donnée (l'abstention et l'annulation ne sont pas considérées comme réponse). Toute réponse exacte rapporte un point. Toute réponse inexacte entraîne le retrait d'un point. L'annulation d'une réponse ou l'abstention n'est pas prise en compte, c'est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point. Une bonification d'un point est ajoutée chaque fois qu'un exercice est traité correctement en entier (c'est-à-dire lorsque les réponses aux 4 affirmations sont exactes). L'attention des candidats est attirée sur le fait que, dans le type d'exercices proposés, une lecture attentive des énoncés est absolument nécessaire, le vocabulaire employé et les questions posées étant très précis. INSTRUCTIONS POUR REMPLIR LA FEUILLE DE REPONSES Les épreuves de la Sélection FESIC sont des questionnaires à correction automatisée. Votre feuille sera corrigée automatiquement par une machine à lecture optique. Vous devez suivre scrupuleusement les instructions suivantes : Pour remplir la feuille de réponses, vous devez utiliser un stylo bille ou une pointe feutre de couleur noire ou bleue. Ne jamais raturer, ni gommer,ni utiliser un effaceur. Ne pas plier ou froisser la feuille.

1.Collez l’étiquette code-barres qui vous sera fournie (le code doit être dans l’axe vertical indiqué). Cette étiquette, outre le code-barres, porte vos nom, prénom, numéro de table et matière. Vérifiez bien ces informations. Exemple:

2.Noircissez les cases correspondant à vos réponses :

FaireNe pas faire Pour modifier une réponse, il ne faut ni raturer, ni gommer, ni utiliser un effaceur. Annuler la réponse par un double marquage (cocher F et V) puis reporter la nouvelle réponse éventuelle dans la zone tramée (zone de droite). La réponse figurant dans la zone tramée n'est prise en compte que si la première réponse est annulée. Les réponses possibles sont : V F V F vrai faux abstention abstention vrai faux abstention Attention :vous ne disposez que d'une seule feuille de réponses. En cas d'erreur, vous devez annuler votre réponse comme indiqué ci-dessus. Toutefois, en cas de force majeure, une seconde feuille pourra vous être fournie par le surveillant.

Epreuve de Mathématiques Sélection FESIC 2006 EXERCICE 1 G G Le plan complexePest muni d'un repère orthonormal direct ( O;u,v ) . Soitfqui, à tout point l'application M deP d'affixez,z≠ 1, associe le pointM’ d'affixez' définie par : 2z+1 z'=. z−1 a)f possède deux points invariants d'affixes conjuguées. b)L'ensembleEdes points M d'affixesztelles que z'∈Rest l'axe des abscisses. c)L'ensemble F des points M d'affixes z telles que|z'| = 2est un cercle. d)A tout point M’ du plan d'affixe z', on peut associer un point M d'affixe z tel que f(M) =M’, sauf au point M’ d'affixe z' = 2. EXERCICE 2 G G Le plan complexePest muni d'un repère orthonormal direct ( O;u,v ) . π On considère les compl exesz 1 ,de module 2 et d'argument z 2 = z 1 et z 3 = 1 + i . 3 8 9 z×z 3 1 a)= 4. 11 z 2 4 7 z × z 1 2 b) est un nombre réel . 6 z 3 4 c)( z 1 – z 3 ) = 28−.16 3 d) L'ensemble des points M de P d'affixes z telles que arg( z ) = arg( z 3 ) est la droite d'équationy = x . EXERCICE 3 G G Le plan complexePest muni d'un repère orthonormal direct ( O;u,v ) . On considère le point A d'affixe a = 5− i 3 . On appelle : π ƒ B le point d'affixe b , image de A par la rotation de centre O et d'angle, 3 ƒ C le point d'affixe c , milieu de [ OA ], 1 ƒ Dle point d'affixeddonnée pard–c= (b–a), 2 ƒ etEle point d'intersection des droites (AD) et (BC) a)Le point B a pour affixe b= 3 3+i. b) D est le milieu de [ OB ]. c)E est le barycentre de{(B, 1), (C, 2)}. d)La droite(OE)est perpendiculaire à(AB).

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Sélection FESIC 2006 EXERCICE 4 a)On considère les quatre courbes ci-dessous :

b)

La courbereprésentant la fonction x →sin( x ) est la courbe C 2 . On considère les trois courbes ci-dessous :

x+1 La courbereprésentant la fonction x → e est la courbe C 1 .

Epreuve de Mathématiques

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Epreuve de Mathématiques Sélection FESIC 2006 c)On considère la fonctionfpar la courbe représentée C  ci-dessous et la fonctionF définie sur [0; 4] par x F ( x ) = f(t)⋅dt . ∫ 0

F est croissante sur [0; 4]. d)On considère les mêmes fonctionsfetFque celles définies à l'item c). La fonction F est deux fois dérivable sur [0; 4] et vérifie F "(0) = 0. EXERCICE 5 a)Soient f, g et h trois fonctions définies sur R .On suppose que, quel que soit x∈ R ,on a : f(x)≤g(x)≤h(x), quelimf(x)=3et que limh(x)=5 . x→ +∞x→ +∞ Alors g(x)admet une limite quand x tend vers+∞et cette limite est comprise entre3et5. −1 x b)Soit f la fonction définie par f(x) = epour x ≠0 et f (0) = 0. On appelleCsa courbe représentative dans un repère du plan . C possède une asymptote d'équation x lim= 0 et f ( x ) = 0. x→0 x>0

c)

d)

2 x x La fonction F définie par F ( x ) = ln x − est une primitive de la fonction f définie par f ( x ) = x ln x 2 2 + surR *.

Soient f la fonction définie par f ( x ) = 2ln xetCsa courbe représentative dans un repère du plan . Cpossède au point d'abscisse –1 une tangente d'équation y = –2 x – 2.

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Epreuve de Mathématiques Sélection FESIC 2006 EXERCICE 6 n 2 −t a) Soit u la suite définie pourn ∈ N * par :u n =e⋅dt. ∫ 1 On veut prouver que la suite u est convergente. On considère pour cela le raisonnement suivant : 2 2 −t –t «Je choisis m  = 0 et M  = 1. Soient n ∈ N * et t ∈[1; n ], on a t ≥ t , donc 0≤ e ≤ e . Il s'ensuit que n n − t − t –1 –n 0≤ u n ≤ ⋅d , soit 0≤ n ≤ , soit e e t u [ − e ] 1 nfin 0≤ u n ≤ e – e ≤1. Ceci étant vrai pour tout n ∈ N *, ∫ 1 la suite u apparaît bornée par m = 0 et M = 1. 2 − t Soit de plus n ∈ N *. La fonction t → e est continue et positive sur [1; n ]. u n représente donc l'aire de la portion de plan comprise entre les droites d'équation x  = 1, x  = n , y  = 0 et la courbe représentant cette fonction. Cette aire augmente quand n augmente, ce qui se traduit par le fait que la suite u est croissante. Conclusion : u est croissante et majorée par 1 donc la suite u est convergente.» Ce raisonnement est exact .

b)

c)

d)

x Soit f la fonction définie sur [0; ln 2] par :f ( x ) = (2 x – 1) e . On appelleCla courbe représentant f dans un repère du plan . On cherche à calculer l'aire de la portion de plan limitée par les droites d'équation x = 0, x = ln 2, y = 0 et la courbeC . On considère pour cela le raisonnement suivant (et le renseignement : ln 2≈0,7 ) : x «La fonction F , définie par F ( x ) = (2 x – 3) e est une primitive de f sur [0; ln 2]. F est en effet dérivable sur x x x [0; ln 2] et pour x ∈[0; ln 2] : F '( x ) = 2 e + (2 x – 3) e = (2 x – 1) e . ln 2 ln 2 x On a : f(x)⋅dx= [ (2x−3)e ] = (2ln 2 – 3)×2 – (–3) = 4ln 2 – 3≈–0,2. ∫ 0 0 Comme le résultat est négatif, c'est que l'aire cherchée est la valeur absolue de ce résultat, soit 0,2 unité d'aire.» Ce raisonnement est exact .

10 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = (1 + x ) . On cherche une approximation de f (0,001). On considère pour cela le raisonnement suivant : 9 « f définie et dérivable sur est R . Pour x ∈ R , f  '( x ) = 10(1 + x la courbe représentant) et f une possède tangente au point d'abscisse 0 d'équation y  = xf  '(0) + f soit (0), y  = 10 x 1. On en déduit que + f (0,001)≈10×0,001 + 1, soit f (0,001)≈1,01.» Ce raisonnement est exact .

Soit  D l'ensemble des valeurs réelles x telles que  sin x ≠ 0. Soit f la fonction définie sur  D par : cosx f ( x ) = . sin x On veut prouver que f est décroissante surD. On considère pour cela le raisonnement suivant : «fest une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont dérivables sur D et dont le dénominateur ne s'annule pas sur D. On en déduit quefest dérivable sur D. 2 2 −sin x −cos x −1 Pour x ∈D, on a f  '( x ) ==. Pour tout x ∈D, on a f  '( x ) < 0. Comme le signe de la 2 2 sinxsinx dérivée donne le sens de variation de la fonction, c'est quefest strictement décroissante sur D.» Ce raisonnement est exact .

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Epreuve de Mathématiques Sélection FESIC 2006 EXERCICE 7 –x Soit [E] l'équation différentielle : y ' + 2 y = e sin x . −1 –x Soitfla fonction définie sur R par :f(x) =e(cosx– sinx). 2 –x a)f est dérivable sur R et, pourx∈ R , f'(x) =ecosx. n (−1) –nπ–π (n + 1) π b)Pour n∈ N ,f' (x)⋅dx=e(e+ 1). ∫ nπ 2 c)f est l'unique solution de l'équation[E]qui s'annule en0. d)Si g est une solution de[E], la courbe représentant g possède une tangente au point d'abscisse0dont une équation est donnée par : y = (1 – 2 x ) g (0). EXERCICE 8 G G Le plan est muni d'un repère orthonormal( O;u,v ). ⎛ 3x+2 ⎞ Soitfla fonction définie par f(x)=ln ⎜ ⎟ . On appelle D f l'ensemble de définition def. ⎝ 5x ⎠ + a)D f =R*.

⎧ −2 ⎫ b)∈D , Soit g une fonction définie et dérivable surD g  = R – ⎨ 0; telle que quel que soit x g ⎬ ⎩ 3 ⎭ 3 1 g'(x) =−. 3x+2x f et g sont égales à une constante additive près. f(x)−2 c) lim= . x−1 5 x→1 d)limxf(x)=0 . x→0 x>0 EXERCICE 9 + Soientλ∈ R * et les fonctions f 1 et f 2 définies sur R respectivement par : 3x2x2x f 1 (x) =eetf 2 (x) = –λe+ 2λe. On appelle respectivement C 1 et C 2 leurs représentations graphiques dans un repère du plan. a)C 1 etC 2 se coupent au pointA(lnλ; 3λ). + b) Quel que soit λ∈ R *, C 1 est "audessus" deC 2 . c) Il existe un point B en lequelC 1 etC 2 possèdent la même tangente . d)Lorsqueλest supérieur à 1, l'aire de la portion de plan comprise entre les courbesC 1 etC 2 et limitée par 3 (λ−1) les droites d'équation x = 0 et x =lnλ est, en unités d'aire: . 3

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Epreuve de Mathématiques Sélection FESIC 2006 EXERCICE 10 On considère une suite réellevstrictement croissante dont tous les termes appartiennent à l'intervalle [0;π]. On définit les suites c et s pour n ∈ N par : c n = cos( v n ) et s n = sin( v n ). a)La suite v converge versπ. b)La suite c est décroissante. c) La suite s est périodique . d) Les suites c et s sont adjacentes si et seulement si la suite v converge vers  . 4 EXERCICE 11 G G Le plan complexePest muni d'un repère orthonormal direct ( O;u,v ) . 2nπ i 5 On considère la suite ( z n ) définie pour n ∈ N par z n = e et, pour n ∈ N , on appelle A n le point d'affixe z n . a) Quel que soitn ∈ N , A n appartient au cercle de centre O et de rayon 1.

b) Quel que soitn ∈ N , | z n+1 – z n | = | z 1 – 1|. c) La suite ( z n ) est périodique de période 5. 4 ∑ d)= z k z 0 + z 1 + … + z 4 = 0. k=0 EXERCICE 12 ⎛ 1 1 ⎞ e u définie pour n ∈* par : u = On considère la suit N 1 1 et u n+1 = ⎟ ⎜ + u n . 2 ⎝ n n ⎠ n a) Pour tout n ∈ N *, on au n = . ( n −1)! b) La suite u est décroissante . n − 2 ⎛ 3 ⎞ c) Quel que soit n ∈ N , si on an ≥2, alorson aura: 0≤ u n ≤2× ⎜ ⎟ . ⎝ 4 ⎠ d) La suite u est convergente et de limite nulle .

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Epreuve de Mathématiques Sélection FESIC 2006 EXERCICE 13 On considère un espace probabilisé fini (Ω, p ) dans lequel un événement A a les trois possibilités A 1 , A 2 et A 3 deux à deux distinctes de se produire et un événement B a les deux possibilités B 1 B et 2 de se distinctes produire. Le tableau suivant donne en pourcentages la probabilité de certains événements de se produire par rapport à l'universΩ:  A 1 A 2 A 3 Total / B B 1  20 B B 2 30 B Total / A 100 10 On donne aussi les renseignements suivants : 1 (A ) tant la probabilité d'obtenir A sachant p (A 2 ) = 60% et p (A )= (l'écriture p B 1 3  représen 3 que B 1  est B 3 1 6 réalisée). a)A 1 et B 1 sont incompatibles. B b) La probabilité d'obtenir B 1 est 24%. c) Si A 3 est réalisée, la probabilité d'obtenir A 3 et B 1 est 4%. d) La probabilité d'obtenir A 3 et B 1 est 4%. EXERCICE 14 Une rampe lumineuse est constituée d'ampoules bleues, rouges ou jaunes provenant de deux usines U 1 et U 2 . U 1 produit 60% de ces ampoules. La durée de vie en années de chacune de ces ampoules suit une loi exponentielle dont les paramètres sont les suivants :  Ampoules bleues Ampoules rouges Ampoules jaunes Ampoules de U 1 λ B1 = 0,25 λ R1 = 0,20 λ J1 = 0,15 Ampoules de U 2 λ B2 = 0,20 λ R2 = 0,15 λ J2 = 0,10 –1 a) La probabilité qu'une ampoule rouge dure moins de 5 ans sachant qu'elle vient de U 1 est 0,6(1 – e ). –1,25 –1 b) La probabilité qu'une ampoule bleue dure moins de 5 ans est 1 – 0,6 e – 0,4 e . –0,75 –1,5 –0,5 –1 c) La probabilité qu'une ampoule jaune dure entre 5 ans et 10 ans est 0,6( e – e ) + 0,4( e – e ). d) La demivie en années d'une ampoule jaune de U 2 est 4ln 2.

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Epreuve de Mathématiques Sélection FESIC 2006 EXERCICE 15 On considère la représentation ci-dessous de l'espace rapporté à un repère orthonormal dont le centre est un point O . On sait que la droite D est orthogonale au plan P . On appelle A le point de coordonnées 2, –1, –2 .

a)

b)

c)

d)

Le planPa pour équation cartésienne :x – y – 2 z – 1 = 0. ⎧ x= − 2 t ⎪ La droiteDa pour équation paramétrique : y = 1 + 2t , avect ∈ R . ⎨ ⎪ z=2+4t ⎩ ⎧ x=2+2t ⎪ = − − ∈ La demidroite [ OA ) a pour équation paramétrique : ⎨ y1t , avectR . ⎪ z= −2−2t ⎩ 1 La sphère de centre O et de rayonest cachée parP . 2

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Sélection FESIC 2006 EXERCICE 16 L'espace est muni d'un repère orthonormal ( O ; i , j , k ) . Pour θ∈ R , on désigne par P et Q les plans d'équations respectives : 2 2 ⎧ y−x=sin θ ⎧ z−y=cosθ P : ; Q : . ⎨ ⎨ z∈Rx∈R ⎩ ⎩ On appelle Δ la droite intersection de ces deux plans. a) Pour tout θ∈ R , les plansPetQsont orthogonaux . ⎧ z−x= 1 θ∈ Δ b) Pour toutR , la droiteest contenue dans le plan d'équation ⎨ . y ∈ R ⎩ c) Pour toutθ∈ R , la droiteΔest orthogonale au plan d'équationx + y + z = 0. G G d) Il existe un réel θ tel que Δ soit parallèle au plan ( O ; i , j ) .

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