Mathématiques 2006 Sciences Economiques et Sociales Baccalauréat général

Description

Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2006
• Baccalauréat général

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 04 janvier 2008
• Nombre de lectures: 85
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatESPondichéry3avril2006
EXERCICE1 4points
Communàtouslescandidats
La courbe ci-contre C
f
est la repré-
sentation graphique d’une fonction
f définie, continue et dérivable sur

−∞;
5
2

.
Onnote f

sa fonction dérivée etF la
primitivede f quivérifie:F(1)=2e.
Onprécise:
• lim
x→−∞
f(x)=0etpourtout
x<0, f(x)>0.
• La tangente à la courbe au point
A(2;0)passeparlepointB

1;e
2

.
•F(−3)=
6
e
3
.
1234 −1 −2 −3 −4 −5 −6
1
2
3
4
5
6
7
−1
−2
−3
−4
−5
−6
C
f
A
B
exp(2)
Pourchacunedeshuitaffirmations,précisezsurvotrecopiesielleestvraieoufausse
(aucunejustificationn’estdemandéeetiln’estpasnécessairederecopierl’énoncé).
Barème: Àchaque questionest attribué 0,5 point. Uneréponseinexacte enlève 0,25
point Une question sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total est
négatifilestramenéàzéro.
Affirmation1 Affirmation5
Pourtoutx ∈]−∞;2],f

(x)0.

2
0
f

(x)dx=−2
Affirmation2 Affirmation6
Lenombredérivéen2delafonction f estégalàe
2
. Lafonction
1
f
estdéfiniesur]−∞;2].
Affirmation3 Affirmation7
LafonctionF présenteunmaximumen2. Lalimitedelafonction
1
f
en−∞est+∞.
Affirmation4 Affirmation8
L’airedelapartieduplancompriseentreC
f
,l’axe Lacourbereprésentativedelafonction
1
f
desabscisses,lesdroitesd’équationsx=−3etx =1 présenteuneasymptoted’équationx =2.
estégale(enunitéd’aire)à
2e
4
−6
e
3
EXERCICE2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Pourpasser letemps, Chloé etMargauxinventent unjeuavecleur paquetde32
cartesàjoueretunpaquetdebonbons.
On rappelle que, dans un jeu de 32 cartes, on trouve quatre couleurs (pique, trèfle,
cour, carreau) et, dans chaque couleur, on a une série de 8 cartes (7, 8, 9, 10, valet,
dame,roi,as).
Margauxproposelarèglesuivante:BaccalauréatES
• On tire une carte, on regarde si c’est un roi. Sans remettre la carte dans le
paquet,ontireunesecondecarteetonregardesic’estunroi.
• Si, sur les deux cartes, on a tiré exactement un roi, on gagne 10 bonbons; si
onatirédeuxrois,ongagne20bonbons;sinon,onaperdu!
Onnote:
R
1
l’évènement «tirerunroiaupremiertirage»etR
1
sonévènement contraire,
R
2
l’«tirerunroiaudeuxièmetirage»etR
2
sonécontraire.
1. Justifierlesvaleursdesprobabilitéssuivantes:
P(R
1
)=
1
8
P
R
1
(R
2
)=
3
31
P
R
1
(R
2
)=
4
31
.
2. On traduit le jeu par un arbre pondéré. Reproduire l’arbre ci-dessous en ins-
crivantlesprobabilités,enécriturefractionnairesurchaquebranche.
R
1
R
2
R
2
R
1
R
2
R
2
Dans cequi suit, lesprobabilitésserontdonnéessousformedécimalearrondie
aumillième.
3. Calculer laprobabilitédesévènements :
A«tirerunroiaupremiertirageetaudeuxièmetirage»;
B«tirerunroiàunseuldesdeuxtirages»
4. Ons’intéresse aunombre X debonbonsgagnésaprèsdeuxtirages.
Recopieretcompléter letableausuivantquidonnelaloideprobabilitédeX.
Nombredebonbonsx
i
0 10 20
P(X =x
i
) 0,226
5. Calculer l’espérancemathématique Edecetteloi,arrondieaudixième.
EXERCICE2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Pendant la saison estivale, deux sociétés de transport maritime ont l’exclusi-
vité de l’acheminement des touristes entre deux îles du Pacifique. On admet que
lenombredetouristestransportéspendantchaquesaisoneststable.
La société «Alizés» a établi une enquête statistique sur les années 2001 à 2005 afin
deprévoirl’évolution delacapacitéd’accueildesesnavires.
L’analyse des résultats a conduit au modèle suivant : d’une année sur l’autre, la so-
ciété«Alizés»,notéeA,conserve80% desaclientèleetrécupère15%desclientsde
lasociétéconcurrente,notéeB.
Pourtoutentiernatureln,onnotepourlasaison(2005+n):
• a
n
laprobabilitéqu’untouristeaitchoisilasociétéAlizés(A),
• b
n
laprobabilitéqu’untouristeaitchoisil’autresociétédetransport(B),
• P
n
=(a
n
b
n
),lamatricetraduisantl’étatprobabiliste,avec a
n
+b
n
=1.
Lesrésultatspourlesprobabilitésserontarrondiesà10
−4
.
Pondichéry 2 3avril2006BaccalauréatES
1. a. Modéliserlechangementdesituationparungrapheprobabilistedesom-
metsnommésAetB.
b. Onnote M la matrice detransition de cegraphe. Recopier et compléter
surlacopielamatricesuivante:M =

0,8 ...
0,15 ...

c. En 2005, la société «Alizés» a transporté 45% des touristes. On a donc
a
0
=0,45.
i. Calculer la probabilité qu’un touriste choisisse la société «Alizés»
en2006.
ii. DéterminerlamatriceP
2
etinterprétercesrésultats.
d. SoitP =(ab )aveca etb deuxréelspositifstelsque a+b=1.
i. Déterminer a etb telsqueP =P ×M.
ii. Endéduire lim
n→+∞
a
n
.
iii. Interprétercerésultat.
e. On admet qu’en 2015, la probabilité qu’un touriste choisisse la société
Aest
3
7
. On interroge quatre touristes choisis au hasard; les choix des
touristessontindépendantslesunsdesautres.
Determinerlaprobabilitéqu’aumoinsundesquatretouristeschoisisse
lasociété«Alizés»poursesvacancesen2015.
EXERCICE3 4points
Communàtouslescandidats
L’objectifdecetexerciceestdedémontrerlapropriétéalgébriquefondamen-
taledelafonctionlogarithmenépériennotéeIn.
Propriétéfondamentale:
Pourtousréelsstrictementpositifs a et b,ln( ab)=lna+lnb.
Rappels
On rappelle les résultats de cours suivants, auxquels le candidat fera claire-
mentréférencepourjustifierchacunedesesaffirmationsaucoursdesétapes
deladémonstration(onpourraenrappelerlenuméro).
Théorème 1 : Sur un intervalle I, deux primitives d’une même fonction dif-
fèrentd’uneconstante.
Théorème2:Soitu unefonctiondéfinie,dérivableetstrictementpositivesur
unintervalleI,lafonctioncomposéedéfinieparx→ln[u(x)]estdérivablesur
I,defonctiondérivée x→
u

(x)
u(x)
.
Théorème3: La somme f de deux fonctions dérivables u et v sur un même
intervalleIestdérivablesurIet f

=u

+v

.
Définitionln1=0.
Énoncédel’exercice
Soit a unréelconstantstrictementpositif.
Onconsidèrelesfonctions f et g,delavariablex,définiessur0 ; +∞[par:
f(x)=ln(ax)e tg(x)=lna+lnx.
Partie1
Danslecasoùa=2,donnerlesfonctionsdérivéesde f : x→ln(2x)et
g : x→ln2+lnx.
Partie2:démonstrationdelapropriété
Pondichéry 3 3avril2006BaccalauréatES
a. Calculer et comparer les dérivées de f et de g dans le cas général où a
estunréelconstantstrictementpositif.
b. Pourquoipeut-onaffirmerqu’ilexisteunréelk telque,pourtout
x ∈]0; +∞[, f(x)=g(x)+k?
c. Enposant x=1,déterminerlavaleurdek.
d. Justifier la propriété fondamentale de la fonction ln énoncée en début
d’exercice.
EXERCICE4 7points
Communàtouslescandidats
Partie1
Soientlesfonctions f et g définiessur[0;9]par
f(x)=
10
1+x
−1e tg(x)=
x
2
.
1. Résoudrealgébriquementl’équation : f(x)=g(x).
2. Calculer l’intégrale:I=

9
3
f(x)dx;ondonneralavaleurexactedeI.
Partie 2
Un produit conditionné en
boite est mis sur le mar-
ché. On désigne par x le prix
d’une boîte de ce produit en
dizainesd’euros.
On admet que la quantité
achetée par les consomma-
teurs, en fonction du prix x
appliqué sur le marché, est
donnéepar f (x)encentaines
deboîtes.
On admet que la quantité
proposée sur le marché par
les producteurs, en fonction
duprix devente x auquel les
producteurs sont disposés à
vendre, est donnée par g(x)
encentainesdeboîtes.
Sur le graphique ci-contre,
sont tracées dans un repère
orthonormal les courbes re-
présentativesdesfonctions f
et g.
0123456789
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
E
y = f(x) y =g(x)
prix
quantités
1. On pourra utiliser le graphique pour conjecturer les réponses aux questions<