CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION Lettre et Sciences-Humaines (B/L) MATHEMATIQUES I Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Ce problème étudie deux suites de variables aléatoires.Il se compose de quatres parties. Si le candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite admettre ce résultat.
Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul.
On considère une urneUncontenantnboules numérotées de1àn: On tire une boule au hasard dansUn:On notekle numéro de cette boule. Sikest égal à1;on arrête les tirages. Sikest supérieur ou égal à2;on enlève de lurneUnles boules numérotés dekàn(il reste donc les boules numérotés de1àk1);et on e¤ectue un nouveau tirage dans lurne. On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro1: On noteXnla variable aléatoire égale au nombre des tirages nécessaires pour lobtention de la boule1: On noteYnla variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées. On noteE(Xn)etV(Xn)(respectivementE(Yn)etV(Yn)) lespérance et la variance deXn(respectivementYn):
Partie 1 n P1 11 1. Onposehn+1 += = +: k2n k=1
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(a) Montrer,que pour tout entier naturelknon nul, les inégalités: 1 1 6ln(k+ 1)ln(k)6; k+ 1k oùlndésigne le logarithme népérien. (b) Endéduire les inégalités: ln(n+ 1)6hn61 + lnn: (c) Déterminerun équivalent simple dehnquandntend vers linni. n P11 1 2. Onpose:kn1 ++= = +. 2 2 k4n k=1 1 11 (a) Montrer,pour tout entierksupérieur ou égal à2;linégalité:6: 2 k k1k (b) Endéduire la majoration:kn62: (c) Déterminerun équivalent simple dehnknquandntend vers linni.
Partie 2 :Etude de la variable aléatoireXn
On noteInla variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans lurneUn: 1. (a)Quelle est la loi deIn? (b) Quelleest la loi conditionnelle deXnsachantIn= 1? (c) Sinest supérieur ou égal à2;montrer : 8j2N;8k2 f2; : : : ; ng; P(Xn=j=In=k) =P(Xk1=j1)
2. (a)Quelle est la loi deX1? (b) Quelest lévènement(X2= 1)la loi de? DonnerX2;son espérance et sa variance. (c) Déterminerla loi deX3;son espérance et sa variance. 3. (a)Montrer queXnprend ses valeurs dansf1;2; : : : ; ng: (b) DéterminerP(Xn= 1)etP(Xn=n): n1 1P (c) Sinest supérieur ou égal à2;montrer:8j>2; P(Xn=j) =P(Xk=j1): n k=1 (d) Sinest supérieur ou égal à3etjsupérieur ou égal à2;calculer:nP(Xn=j)(n1)P(Xn1=j): En déduire, sinest un entire supérieur ou égal à2 : n1 1 8j>1; P(Xn=j) =P(Xn1=j) +P(Xn1=j1) n n 1 4. (a)Sinest supérieur ou égal à2;montrer, en utilisant 3.d):E(Xn) =E(Xn) +: n (b) EndéduireE(Xn)et donner un équivalent simple deE(Xn)quandntend vers linni. 2 2 5. (a)Sinest supérieur ou égal à2;calculerE(X)en fonction deE(X)et deE n n1(Xn1): (b) Endéduire:V(Xn) =hnkn(en reprenant les notations introduites enPartie 1) (c) Donnerun équivalent deV(Xn)quandntend vers linni. 6. Soit(Ti)i>1une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour toutientier naturel non nul,Ti n 1P suit la loi de Bernouilli de paramètre:On poseSn=Ti=T1+ +Tn: i i=1
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(a) VérierqueX1etT1ont la même loi. (b) Sinest supérieur ou égal à2;montrer pour toutjentier naturel non nul : 1n1 P(Sn=j) =P(Sn1=j1) +P(Sn=j) n n En déduire queXnetSnont même loi. (c) RetrouverainsiE(Xi)etV(Xi): n P k 7. Ondénit le polynômePnpar la relation:8x2R; Pn(x) =x P(Xn=k): k=1 (a) DéterminerP1etP2: (n1 +x) (b) Sinest supérieur ou égal à2;à laide du 3.d), montrer, pour toutxdeR:Pn(x) =Pn1(x): n (c) EndéduirePn: (d) DéterminerP(Xn=n1): 0 (e) CalculerP(1)et r netrouverE(Xn):
Partie 3 :Etude de la variable aléatoireYn: 1. Donnerla loi deY1: 2. (a)Quelles sont les valeurs prises parY2? (b) Déterminerla loi deY2: 3. (a)Sinest supérieur ou égal à2;montrer, pour tout entierjnon nul et tout entierksupérieur ou égal à 2 : P(Yn=j=In=k) =P(Yk1=jk): (b) Sinest supérieur ou égal à2;en déduire, pour tout entierjsupérieur ou égal à1 : n1 1 P(Yn=j) =P(Yn1=j) +P(Yn1=jn): n n (c) Sinest supérieur ou égal à2;montrerE(Yn) =E(Yn1) + 1:Que vautE(Yn)pour tout entiernnon nul ?
Partie 4 On considère lurneUncontenantnboules numérotées entre1etn:A partir de lurneUn;on e¤ectue la suite de (n) tirages décrite dans len-tête du problème.Pourientier def1; : : : ; ng;on dénitZla variable aléatoire égale i à1si, au cours de lun quelconque des tirages, on a obtenu la boule numéroi;égale à0sinon. (n) (n) 1. Quelleest la loi deZn? Quedire de la variableZ? 1 2. (a)Sinest supérieur ou égal à2etiun entier def1; : : : n1g;montrer la relation : n X (n)1 1(k1) P(Z+= 1) =P(Z= 1): i i n n k=i+1 (n) (b) Montrerpar récurrence que, pour toutndeNet pour toutidef1; : : : ; ng; Zsuit la loi de Bernouilli i 1 de paramètre: i n P (n) 3. QuevautZ? RetrouverainsiE(Xn): i i=1 4. RetrouverE(Yn):