Mathématiques I 2002 Classe Prepa PSI Concours Mines-Ponts

Religieu

Description

Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques I 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2002

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

A 2002 PSI 1 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D’ADMISSION 2002 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE Filière PSI (Durée de l’épreuve:3 heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière PSI.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Étant donnée une fonctionfréelle, définie sur le segment  0, 1  , indéfiniment dérivable, soit la suiar les relations suivantes :  u n  N te réelle définie p n n 1 11 1 U)u 0 1 ; pour tout entiernstrictement positif,u n  ff f...f.  n k 1 2 k1 n SoitRle rayon de convergence de la série entière de terme généralu n x,n0, 1, 2,. Soit Fla somme de cette série entière ; son ensemble de définition est l’ensemble des points en lesquels la série entière est convergente. Elle est définie par la relation suivante :  n F  x   u n x.  n0

Première partie I-1.Rayon de convergence: a. Exemples : étant donnés un réeldifférent de 0  0  et un entier naturelpdifférent de 0  p1  , déterminer les rayons de convergence et les sommesF 1 ,F 2 etF 3 des séries entières n de terme généralu n x, lorsque la fonctionfest successivement définie par l’une des trois relations suivantes : f 1  t  ;f 2  t  t;f 3  t  p t1. Préciser les ensembles de définition des trois fonctionsF 1 ,F 2 etF 3 ; pour déterminer la n fonctionF 3 , exprimer le coefficientu n pournp1 au moyen du coefficient du binômeC p1

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p1 �gal
. n b. D�terminer, pour une fonctionfr�elle, d�finie sur le segment  0, 1  , ind�finiment n d�rivable, le rayon de convergence de la s�rie entire de terme g�n�ralu n x.

Dans la suite du problme, les fonctions ind�finiment d�rivablesfconsid�r�es prennent des valeurs diff�rentes de 0 en tout point d' abscisse 1/noùnest un entier strictement positif (pour tout entiernstrictement positiff  1/n  0).

I-2 Suite de terme g�n�ralu n : a. D�montrer que, si la fonctionfprend une valeur en 0 strictement positive  f  0  0  , il existe un rangNtel que, pour tout entiernsup�rieur ou �gal
N, le r�elu n soit de signe constant.

b. tudier la conveda xcas suivants : rgence de la suite  u n  N ns les deu n i. le r�el |f  0  | appartient
l' intervalle semi-ouvert  0, 1   0 | f  0  | 1  ,

ii. le r�el |f  0  | est strictement sup�rieur
1  | f  0  | 1  .

Dans toute la suite du problme, la fonctionfprend la valeur 1 en 0  f  0  1  et des valeurs strictement positives sur le segment  0, 1  .

I-3.S�rie de terme g�n�ralu n : Soitla valeur prise par la fonction d�riv�ef´ en 0 : f´  0  . Soit  v  ite d�finie par les relations suivantes : n n N la su u n v 0 1 ;pour tout entiernsup�rieur ou �gal
1 :v n .  n Dans le cas particulier oùest nul :v n u n . tudier la convergence de la s�rie dont le terme g�n�ralw n ,n1, 2,, estd�fini par la relation : v n pour tout entiernsup�rieur ou �gal
1 :w n ln . v n1 En d�duire l' existence d' une constanteL, diff�rente de 0, telle queu n soit �quivalent
 l' infini
L n.  u n L n.

I-4.FonctionF: a. Soitfune fonction r�elle, d�finie sur le segment  0, 1  , strictement positive, ind�finiment d�rivable, prenant la valeur 1 en 0 ; d�terminer l'ensemble de d�finitionD F de la fonctionF, n c' est-
-direl' ensembledes r�els pour lesquels la s�rie de terme g�n�ralu n xest convergente ;

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les coefficientsu n sont d�finis par la relation (U) de la premi
re page.

b. Exemple : �tant donn�un r�elun entier naturel, soitdiff�rent d'fla fonction d�finie sur l' intervalle  0, 1  par la relation suivante : f  t  1t. n SoitFla fonction �gale la somme de la s�rie enti
re de terme g�n�ralu n x; les coefficientsu n sont d�finis par la relation (Uexpression de). crire l'F  x  unecomme somme d' s�rie enti
re ; pr�ciser son rayon de convergence. Reconnaître la fonctionF.

Deuxi�me partie Soitun r�el strictement compris entre 0 et 1  01  ; soitfla fonction d�finie sur le segment  0, 1  par la relation suivante : 2 2 f  t  1t. C' estun exemple de fonctionfdont la d�riv�e est nulle en 0f  0  0 .Soitgla fonction d�finie sur l'intervalle ouvert  1, 1  par les relations suivantes : cos  x  1 g  0  0 ;pour toutxv�rifiant 0 | x | 1,g  x  . sin  x  x

II-1.Propri
t
s de la fonctiong: a. D�montrer que la fonctiong, d�finie par les relations ci-dessus, est continue sur l' intervalleouvert  1, 1  . Calculer pour tout r�elintervalle ouvert, appartenant l'1, 1, l' int�graleI  d�finie par la relation ci-dessous :  I    g  t  dt. 0 b. Soithla fonction complexe, p�riodique de p�riode 2, d�finie sur l'intervalle semi-ouvert  0, 2  par la relation suivante : it pour tout r�eltv�rifiant les in�galit�s 0t2,h  t  e. D�terminer le d�veloppement en s�rie de Fourier de la fonctionh; pr�ciser la convergence de la s�rie obtenue. En d�duire la relation :  2 1 g      2 2 . n n1

c. En d�duire une expression de l'int�graleI  alin�a a, au moyen de la somme, consid�r�e l' d' unes�rie.

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II-2.Convergence de la suite  u n  N : n D�montrer que la suite  u n   d�finie
partir de la fonctionfgrâce aux relations (U) est nN convergente et d�terminer sa limite.

Troisi�me partie Le but de cette partie est d'utiliser les r�sultats de la deuxime partie pour �tablir des propri�t�s de la fonctionGd�finie sur la demi-droite ouverte  0,  par la relation :  x1t x1t G  x    t edt  t edt. 0 0, tant donn�un entiernsup�rieur ou �gal
1  n1  , soit n la fonction d�finie sur le quart de plan  0,    0,  par la relation suivante : n x1 t  n x,tt1, si0tn; n x,t0, sitn. n SoitG n la fonction d�finie sur la demi-droite ouverte  0,  par la relation suivante : n G n  x     n x,t dt   n x,t dt. 0 0,n

III-1.Existence des fonctionsG n etG: D�montrer que les deux fonctionsG n etGsont d�finies et continues sur la demi-droite ouverte  0,  . D�montrer que la suite des fonctionsG n ,n1, 2,simplement, sur, converge la demi-droite ouverte  0,  , vers la fonctionG. III-2.Une expression deG n  x  : a. tant donn�s un entier naturelnet un r�elxstrictement positif  x0  , soitJ n  x  l' int�graled�finie par la relation suivante : 1 n x 1 n x 1 J n  x     1t  t dt   1t  t dt. 0 0,1 Calculer cette int�grale. b. En d�duire, pour tout entiernsup�rieur ou �gal
1 et tout r�elxstrictement positif, une expression deG n  x  . III-3.Relation des compl
ments: D�montrer, pour tout r�elxstrictement compris entre 0 et 1  0x1  , la relation suivante :  G  x  G  1x  . sinx

FIN DU PROBLÈME

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