´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Fili`ereTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2003
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ PREMIERE EPREUVE Filie`rePSI (Dur´eedel’´epreuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
SoitIl´time0se:1tegesntmeexd’´etrI= [0,lbe`em1];danstoutceproh etfller´eeoiteladrssrunieuoctnseteniefid´es´enndoesllee´rsnoitcnofsostned R. Soit(E:eseiuavtnntrelliendio´eiffe´’ltauq)
Les fonctionshetfnatesedt´seusrcsnoitunsr´eellefonctionR, soit (S) le syst`emeconstitue´del’e´quationdiff´erentielle(Elaitauesnoirpxtnam´sqeteed) nullit´edelasolutionyellavretmit´es0et1del’inaxuxerte´I:
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−y(x) +h(x)y(x) =f(x), (S) y(0) = 0, y(1) = 0. Une fonctionyefini,d´esurRsiocxuofuˆemtnni,deiverd´ntrsuleabRafiire´v,tn lese´quationsdusyst`eme(Sitesolut)estdme`t(ednoisysuS).
Premi`erepartie
La fonctionhstanecon`aungaletse´enoitcnofalteetfest nulle: 1.De´montrerque,lorsquelafonctionhiesurd,nfie´Ra`nue,est´egale constanter´eelleα(h(x) =α∈R) et la fonctionfest nulle (f(x) = 0), la seule solutiony(tsyusdeme`S) est la fonction nulle (y(x) = 0 pour toutx), sauf 2 pourcertainesvaleursdure´elαqropesee;ss´ci´eprntroseuiα=ωouα= 2 −ω(ω >lievra´n)t,qsueu0eelα.fitageictrusfon´ntmeteetemrtciisittnopests
x1 pourtoutre´elx,Φ (x) = (1−x)t ϕ(t)dt+x(1−t)ϕ(t)dt. 0x 2 2.De´montrerquelafonctionΦestd´efinieetdeclasseCsur toute la droite re´elleRerminersad´eriv´eeesocdnΦe;te´d´ainsi que les valeurs prises par la fonction Φ en 0 et en 1 :Φ (0),Φ (1).
pourtoutre´elx,Φ (x) 1=−ϕ(x),Φ1(0) = 0,Φ1(1) = 0, les fonctions Φ et Φ1ntsoΦ(selage´1= Φ). 4.End´eduire,lorsquelafonctionhestentleeni’ut´ci’uedllun’l,esixecnet solutionye(t`emsusydS0) suivant : −y(x) =f(x), (S0) y(0) = 0, y(1) = 0. Une condition sur la fonctionhlorsque la fonctionfest nulle: La fonctionfulen´eosppsuste(elfe`tsysel;)0=me(St,ecri)s’´ −y(x) +h(x)y(x) = 0, (S1) y(0) = 0, y(1) = 0. 5.D´emontrerque,pourqu’unefonctiony,unitnoctrdalruseteoid´efiniee re´elleRelysirefiem(tse`´e,vS1),il faut et il suffit que la fonctionyvuorefip,e´ir toutr´eelx, la relation (R) suivante : x1 (R´pe)elourtoutrx, y(x) = (x−1)t h(t)y(t)dt+x(t−1)h(t)y(t)dt. 0x
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6.D´emontrerl’existencededeuxre´elsHetYrespectivement maximums des valeurs absolues des fonctionshetysur le segmentI= [0,1].
7. Soity(emesudn`tsyesolutiounS1;)e´leuort,perrtouemd´tronxappar-tenant au segmentI(0≤x≤1),lage´ni’l:teanivsu´eit H Y |y(x)| ≤. 8 8.End´eduireuneconditionne´cessairesurlafonctionh, pour qu’il existe des solutionsytincfolae,llnuone`tsysud(ema,qseutuerS1uel,euqsroVi.r)e´qrefi la fonctionhest constante, cette condition est remplie lorsqu’il y a des solutions diff´erentesde0.
Seconde partie
Rappel :une fonctionf,iter´eellee´d,einfilrusorda´erleelR, est dite 2-pe´riodiquesietseulementsi:pourtoutre´elx, f(x+ 2) =f(x).Les coeffi-cients de Fourieran(f), bn(f), n≥1,sparefinintd´soviussnoitalerselstean :
(F)−y(x) +h(x)y(x) =f(x), o`uhetfonssedtcnofnoite´dsueinntcoe,lleer´etiordalrusseinfi-se2,apri,smi pe´riodiques.Lafonctioninconnueympeireaippsu´eostseiodiqueis-2´pree,llaesu, maisenplusdeuxfoiscontinuˆmentd´erivableetve´rifiantlesconditionsauxlim-ites suivantes sur le segmentI: elleest nulle en 0 et en 1.
Lorsque la fonctionyblvae,itnomuˆndtneire´odique,deuxfoisc,miapri2ep-e´ir v´erifiel’´equationdiffe´rentielle(Fniefid´eses-dciessnoitidntimilxuaesco)etlsus, elleestditesolutiondusyst`eme(T) suivant : −y(x) +h(x)y(x) =f(x), (T) y(0) = 0, y(1) = 0. SoitGnotclfae´rraclensdaiefin´endioI×Ipar la relation suivante : t(1−x),si 0≤t≤x, (x, t)→−G(x, t) x(1−t),six≤t≤1. ´ Etantdonne´unre´elxsedu´efixtengmI ,soitGxla fonction impaire, 2-pe´riodique,´egale`aG(x, tltuotee´r)ruoptappartenant au segmentI: