Mathématiques I 2004 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2004
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 531
• Langue: Français

Extrait

ESSEC 2004, math 1, option scientifique

NotationsDansceproble`me,onde´signeparnun nombre entier naturel non nul et on convient n d’identifier tout vecteurXdeR`lamaolonnedeatrice-ctnassecsesopmox 1 , x 2 , . . . , x n dans la n base canonique deRe:adirest`,c’   x 1 x 2   X=   . x n t Latranspose´ed’unetellematriceXest la matrice-ligneX= (x 1 , x 2 , . . . , x n ). Le produit scalaire n canonique d’un vecteurXet d’un vecteurYdeRe´agolsresta`l:a n X t hX, Yi=XY=x i y i i=1 p La norme euclidienne deXe´nfieiaprsedt||X||=hX, Xiet on dira qu’une suite de vecteurs n n (X p ) deRconverge vers un vecteurXdeRsi la suite||X p −X||converge vers 0. Pourfinir,ond´esignepar -Intit´ed’ordretamaledi-ecirn -Aquri´eerleelord’erdnumetairecys´mten.

Partie I :Etude d’une suite de vecteurs

n 1)Dans cette question, on noteCun vecteur non nul de composantesc 1 , c 2 . . . , c n deR. t t a)Expliciter le produit matricielC C. La matriceC C?est-elle diagonalisable t 2t b)Exprimer (C C) enfonction deC Cet de la norme deC. t 2 c)edoutevaleurproprenEde´deriuteuqC Cetse´agela`a`uo0||C||. d)0.´e`aosicersarppoapecess-ouesrlseci´erP t 2 CalculerC CCen fonction deCoci´e`aorrpaesse-pscapeleerussor´tpisece||C||. t e)icerelanatuEnd´eduiodomprihered’lneueiqntmeecsmonanala`rtamossae´icC C. Montrer qu’il s’agit d’une projection orthogonale lorsque le vecteurCest unitaire. n 2)Danscettequest,noi´dnogiseapenrXetYdeux vecteurs deR. ´ t tt t2 tt tt a)Etablir queXY=Y X,XAY=hX, AYi=hAX, Yi, (XY) =X(Y Y)X=Y(X X)Y. n b)Justifier l’existence d’une base orthonormale de vecteursU 1 , U 2 , . . . , U n deRpour lesquels existentdesre´elsλ 1 , λ 2 , . . . , λ n tels queAU 1 =λ 1 U 1 , AU 2 =λ 2 U 2 , . . . , AU n =λ n U n . c)Exprimer les vecteursXetAXdans la base (U 1 , U 2 , . . . , U n urleueiqs`meorsndielaa’snia) des produits scalaireshU i , XiethU i , AXiu1o`6i6nntvauiest´liga´e:ere’lorvuiupsp, n X 2 hX, AXi=λ i hU i , Xi i=1 d)esllivsutrmaieicetna:sEnd´eduagil´tserilesee´ n n X X t t I=U i U i etA=λ i U i U i i=1i=1 t Reconnaˆıtrelesendomorphismescanoniquementassocie´sauxmatricesU i U i . e)eler´nislagee´tiuissntva:esEnd´edui 2 2 min (λ i )||X||6hX, AXi6max (λ i )||X|| 16i6n16i6n

f )Application: encadrer par deux nombres entiers les valeurs propres de la matrice d’ordren de´finieci-dessous(touslese´le´mentssontnuls,saufsurlestroisdiagonalescentrales)   4 –10. . .0 . . . . –1 4 . . . . . . . . . A= 0 . . . 0   . . .  . . .  . . . . –1 0. . .0 –14

3)Dans cette question, on noteρ(Amax () =|λ i |). 16i6n n X 2 22 a)eerquerifiV´||AX||=λhU i , Xi. i i=1 Prouver que||AX||6ρ(A)||X||eital.´enalt´’gerre´lasiunvecteutexhiber ´ b)elavdecn´’lriuqeEtliabivannssutesxurpseedtioiposo p i. Pour tout vecteurX, la suite (A X) tend vers 0 quandptend vers +∞ ii.ρ(A)<1.

PartieII:Unproble`medeminimisation

Dans toute cette partie,R p [Xesfoblednsemel’eoˆemlonynopscnitnfeiri´eedsdr´egngise´d]rue oue´gala`petα, βuxr´eelssontde0t´vrefiina< α < β. On se propose de minimiser sup{|Q(t)|/α6t6β}`ouQtceir´dR p [X]etifiev´erQ(0) = 1. 1)tcoisnocnOdisnre`esulaeditonefT p ar´dfieinpeT 0 (t) = 1,T 1 (t) =t, et, sip>1, par la relationder´ecurrenceT p+1 (t) = 2tT p (t)−T p−1 (t). p a)Montrer queT p gededemoe´rtsnuectioefonlynˆn-popnrtpdteerlseci´eiefficoeect.   b)Prouverrte´lep,uotruoθet tout entier naturelpqueT p cos(θ) =cos(pθappe.Onra)ll`e ceteffetlaformuledetrigonom´etriecos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b). c)iueruspEnedd´{|T p (t)|/−16t61}et montrer queT p admet dans [−1,1]p´ezcnsttiissdro quel’onpr´ecisera. 2)esigOnd´paneraeer´ellteuqun|a|>1. On se propose de minimiser sup{|Q(t)|/−16t61}`uoQitcr´edR p [Xefiire´vte]Q(a) = 1. T p Pourcela,ond´esigneparS p .la fonction T p (a) a)Ocnd`eronsiilene,s’u,etsixeitcnofennˆlypooneomPdeR p [X] telle queP(a1etv´erifiant=) 1 sup{|P(t)|/−16t61}<. |T p (a)|       jπ jπ Pr´eciserpour06j6ple signe deS p cos−Pcos . p p End´eduirequeS p −Pa au moinspracinesr+1siitcnete´leeldsrureconeets,tiennoiartntcid enexaminantledegre´deS p −P. b)Eirdu´enduspqeeu{|Q(t)|/−16t61}o`uQtecrid´R p [Xte]re´vefiiQ(a) = 1 est minimal 1 pourS p .et vaut |T p (a)| 1 c)SiPeme`lborpeca`tnaisfaisatesomnˆlye(reuqnorton,msatinimidemiestunpoP+S p ) 2 estaussiunpolynoˆmesatisfaisant`aceprobl`eme,etqu’onapour06j6p:       1jπ jπ1 Pcos +S p cos =   2p p|T p (a)| Ende´duirequeP=S p .

2

´ 3)es´poontisaEtilbaeuqropelˆnylesomvauiesnt’utlinuqselotuoidnpurobl`emedeminimi danslepre´ambuledecettepartie:   2t−α−β T p β−α   α+β T p α−β

PartieIII:R´esolutionite´ratived’unsyste`meAX=B On supposera de plus, dans cette partie, que les valeurs propres deAsont strictement positives et on les classe comme suit : 0< λ 1 6. . .6λ n . One´tudieunem´ethodeite´rativeder´esolutiondusyste`medeCramerAX=Ba`tu’,qd´onniefi n partird’unesuiteder´eelsstrictementpositifs(α p ) et d’un vecteurX 0 deR: X p+1 =X p +α p (B−AX p ) ∗ Justifierl’existenceetl’unicite´delasolutionXst`eme.dusy 1)Dans cette question, on suppose la suite (α p naetnotsc)aale`,´egα >0. ∗p∗ a)Montrer, pour tout nombre entier naturelp, queX p −X= (I−αA) (X 0 −X). b)rlseci´eurlevaesserporpsrPµ 1 , . . . , µ n de la matriceI−αA, ainsi queρ(I−αAmax () =|µ i |). 16i6n Tracerlacourberepre´sentativedelafonctiond´efinieparf(α) =ρ(I−αA). ∗ c)uireque(End´edX p ) converge versXsi et seulement siα <2/λ n . 2 Montrerquelaconvergenceestoptimaleenunsensquel’onpre´ciserapourα= et λ 1 +λ n montrer qu’alors :   p λ n −λ 1 ∗ ∗ ||X p −X||6||X 0 −X|| λ n +λ 1 2)sacuatneivernOosnptolera´eeng´rbeentmotruopeuourelrnatntiep>1 : P p (t) = (1−α 0 t)(1−α 1 t). . .(1−α p−1 t) etP p (A) = (I−α 0 A)(I−α 1 A). . .(I−α p−1 A) a)´ePresrlsecipsruelavserporν 1 , . . . , ν n de la matriceP p (A), et montrer que   ρ(P p (A)) =max (|ν i |fiel’in´egalit´ev)ire´ρ P p (A)6sup{|P p (t)|/λ 1 6t6λ n }. 16i6n ∗ ∗ ´ b)Etablir queX p −X=P p (A)(X 0 −X), puis que : ∗ ∗ ||X p −X||6sup{|P p (t)|/λ 1 6t6λ n } ||X 0 −X|| c)Lorsque l’entierplrisonseno-tiohcrembses,eocfit´xptuemmneα j 0`uo6j6p−1 pour minimiserler´eelsup{|P p (t)|/λ 1 6t6λ n }? Etablir qu’on a alors : 1 ∗ ∗ ||X p −X||6   ||X 0 −X|| λ 1 +λ n  T p  λ 1 −λ n    p λ+λ 1n p −1 λ n +λ 1 Montrer queT p ltneqsroeustequ´ealivptend vers +∞`a 2.  λ 1 −λ n λ n −λ 1 Comparerlaconvergencedelame´thodeite´rativea`αconstant de la question1avec celle de lame´thodeit´erativeoptimalede´veloppe´ea`cettequestion.

3