MATHÉMATIQUES I Filière PSI

Laurent

Description

Niveau: Supérieur
MATHÉMATIQUES I Filière PSI Concours Centrale-Supélec 1998 On rappelle que si et sont deux formes linéaires sur un espace vectoriel réel telles que s'annule sur le noyau de , alors il existe un réel tel que . Notations et objectifs du problème • On note l'espace des fonctions continues sur à valeurs réelles. • Pour réel strictement positif, on note : . • On considère, dans l'espace physique usuel, un plan vertical orienté, muni d'un repère orthonormé direct d'axes , de sorte que l'axe soit dirigé par l'accélération de la pesanteur : on écrit alors avec . On note le point de coordonnées où . À toute fonction de classe sur , telle que, et , on associe son graphe . Un point mobile , lâché du point sans vitesse initiale et soumis à l'action de la pesanteur, est assujetti à se déplacer sur . Si est le temps mis par ce mobile pour parvenir au point , les coordonnées et de sont des fonctions de classe sur satisfaisant aux con- ditions suivantes : On se propose d'étudier le problème du brachistochrone relatif à : déterminer les courbes telles que le temps soit minimum. Partie I - Étude d'une courbe paramétrée On note la courbe du plan décrite, dans le repère , par le point de coordonnées avec : .

• point mobile


• accélération tangentielle du mobile au point


• courbe du plan


• accélération de la pesanteur


• vitesse numérique


• rela- tivement aux orientations choisies

Sujets

• Pesanteur

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Extrait

MATHÉMATIQUES I

Concours Centrale-Supélec 2002

1/4

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

La première partie de ce problème est consacrée à la description d’une procédure

géométrique qui aboutit naturellement à la construction d’une fonction continue

:

que l’on étudie sommairement à la Partie II. La troisième partie

concerne les propriétés de dérivabilité des fonctions continues

périodiques

ayant une série de Fourier lacunaire. Enfin, à la Partie IV on combine les résul-

tats des parties I et III pour montrer que la fonction

n’est dérivable en aucun

point de

.

On note

et

et on désigne par

l’espace des fonc-

tions de

dans

qui sont continues et

périodiques.

Si

on rappelle que ses coefficients de Fourier sont donnés pour

par

, la série de Fourier (formelle) de

étant

.

Partie I -

Définition de la fonction

I.A -

On suppose l’espace

muni de sa structure euclidienne canonique. On

définit

:

par :

,

où

et

est la projection orthogonale de

sur la droite passant par

et

si

.

I.A.1)

On suppose

,

et l’on pose

,

,

,

,

,

où

.

Que représentent les points

par rapport au triangle

?

I.A.2)

Montrer que si

alors

,

.

I.B - Pour

on pose

et on définit par

récurrence pour

la suite

par

.

I.B.1)

Soit

,

. Montrer que, si l’on a

, alors

et

.

x

]0,

π

[

IR

→

2

π

–

x

]0,

π

[

IN

∗

IN

\ 0

{

}

=

ZZ

∗

ZZ

\ 0

{

}

=

C

2

π

IR

I

C

2

π

–

f

C

2

π

∈

n

ZZ

∈

f

ˆ

n

(

)

1

2

π

-----

f

t

(

)

π

–

π

∫

=

e

i

nt

–

dt

f

f

ˆ

n

(

)

n

ZZ

∈

∑

e

i

nt

x

IR

2

T

IR

3

IR

3

→

T

x

x

0

,

,

(

)

x

x

0

,

,

(

)

=

T

x

y

z

,

,

(

)

x

'

y

'

z

'

,

,

(

)

=

x

'

y

=

y

'

z

'

,

(

)

y

z

–

,

(

)

x

0

,

(

)

y

z

,

(

)

x

y

z

,

,

(

)

x

x

0

,

,

(

)

≠

x

y

≠

z

0

≠

A

x

0

,

(

)

=

B

y

z

,

(

)

=

C

y

z

–

,

(

)

=

A

′

x

'

0

,

(

)

=

B

′

y

'

z

–

'

,

(

)

=

C

′

y

'

z

'

,

(

)

=

x

'

y

'

z

'

,

,

(

)

T

x

y

z

,

,

(

)

=

A

′

B

′

C

′

,

,

ABC

x

y

z

,

,

(

)

x

x

0

,

,

(

)

≠

y

'

x

'

–

2

z

2

y

x

–

(

)

y

x

–

(

)

2

z

2

+

-------------------------------

–

=

z

'

z

y

x

–

(

)

2

z

2

–

y

x

–

(

)

2

z

2

+

-------------------------------

=

t

]0,

π

[

∈

X

0

t

(

)

0

1

cotan

t

, ,

(

)

=

n

IN

∈

X

n

t

(

)

x

n

t

(

)

y

n

t

(

)

z

n

t

(

)

,

,

(

)

=

X

n

1

+

t

(

)

T

X

n

t

(

)

(

)

=

n

IN

∈

t

]0,

π

[

∈

z

n

t

(

)

0

=

z

n

1

+

t

(

)

0

=

y

n

1

+

t

(

)

x

n

1

+

t

(

)

–

0

=