Mathématiques II 2000 Classe Prepa HEC (ECO) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques II 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2000 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 334
• Langue: Français

Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 2000

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Ce problème se compose de cinq parties :il étudie deux suites de variables aléatoires discrètes et une simulation informatique. Sile candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite ,admettre ce résultat. Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul. On considère une urneU n contenantnboules numérotées de1àntire une boule au hasard dans. OnU n . On notekle numéro de cette boule.Sikest égal à1Si, on arrête les tirages.kest supérieur ou égal à2, on enlève de lurneU n les boules numérotées dekàn(il reste donc les boules numérotées de1àk1), et on e¤ectue à nouveau un tirage dans lurne.On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro1note. OnX n la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour lobtention de la boule numéro1note. OnY n la variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées.On noteE(X n )etV(X n )(respectivementE(Y n )et V(Y n )) lespérance et la variance deX n (respectivementY n ).

Partie 1. n P 1 11 1. Onpose :h n = =1 ++:::::+ k2n k=1 (a) Montrer,pour tout entier naturelknon nul, les inégalités : 1 1 6ln(k+ 1)lnk6 k+ 1k oùlndésigne le logarithme népérien. (b) Endéduire les inégalités :ln(n+ 1)6h n 61 + lnn

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(c) Déterminerun équivalent simple deh n quandntend vers linni. n P 11 1 2. Onpose :k n = =1 ++:::::+ 2 22 k2n k=1 (a) Montrer,pour tout entierksupérieur ou égal à2, linégalité 1 11 6 2 k k1k (b) Endéduire la majorationk n 62 (c) Déterminerun équivalent simple deh n k n quand n tend vers linni.

Partie 2 :Etude de la variable aléatoire X n

On noteI n la variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans lurneU n .

1. (a)Quelle est la loi deI n ? (b) Quelleest la loi conditionnelle deX n sachantI n = 1? (c) Sinest supérieur ou égal à2, montrer :

 8j2N;8k2 f1;2; :::; ng;

P(X n =j=I n =k) =P(X k1 =j1)

2. (a)Quelle est la loi deX 1 ? (b) Quelest lévénement(X 2 = 1)? Donnerla loi deX 2 , son espérance et sa variance. (c) CalculerP(X= 2=I= 1),P(X= 2=I= 2),P(X= 2=I= 3). Déterminerla loi deX, son 3 33 33 33 espérance et sa variance. 3. (a)Montrer queX n prend ses valeurs dansf1;2; :::; ng. (b) DéterminerP(X n = 1)etP(X n = 2) (c) Sinest supérieur ou égal à2, montrer la relation : n1 X 1 8j>2; P(X n =j) =P(X k =j1) n k=1 (d) Sinest supérieur ou égal à3etjsupérieur ou égal à2, calculer :nP(X n =j)(n1)P(X n1 =j) En déduire, sinest un entier supérieur ou égal à2: n1 1 8j>1; P(X n =j) =P(X n1 =j) +P(X n1 =j) n n

4. (a)Sinest supérieur ou égal à2:, montrer, en utilisant 3d. 1 E(X n ) =E(X n1 ) + n (b) EndéduireE(X n )et donner un équivalent simple deE(X n )quandntend vers linni. 2 2 rE(Xn deE(X)et deE 5. (a)Sinest supérieur ou égal à2, calcule n )en fonctio n1 (X n1 ). (b) Endéduire:V(X n ) =h n k n (en reprenant les notations introduites enPartie 1). (c) Donnerun équivalent deV(X)quandntend vers linni. n

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6. Soit(T i )une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout i entier naturel non nul,T i i>1 1 suit la loi de Bernoulli de paramètre. Onpose : i n X S n =T i =T 1 +:::::+T n i=1 (a) VérierqueX 1 etT 1 ont même loi. (b) Sinest supérieur ou égal à2, montrer, pour tout entierjnon nul : 1n1 P(S n =j) =P(S n1 =j1) +P(S n1 =j) n n En déduire queX n etS n ont même loi. (c) RetrouverainsiE(X n )etV(X n ).

Partie 3 :Etude de la variable aléatoire Y n . 1. Donnerla loi deY n . (a) Quellessont les valeurs prises parY 2 ? (b) Déterminerla loi deY 2 . 2. (a)Sinest supérieur ou égal à2, montrer, pour tout entierjnon nul et tout entierksupérieur ou égal à2

P(Y=j=I=k) =P(Y=jk) n n k1 (b) Sinest supérieur ou égal à2, en déduire, pour tout entierjsupérieur ou égal à1 n1 1 P(Y n =j) =P(Y n1 =j) +P(Y n1 =jn) n n (c) Sinest supérieur ou égal à2, montrerE(Y n ) =E(Y n1 ) + 1 Que vautE(Y n )pour tout entiernsupérieur ou égal à1?

Partie 4.Simulation informatique.

Dans le langage informatique PASCAL, la fonctionrandom(n)renvoie un entier aléatoire compris entre0etn1. On donne la procédure suivante Procedure Truc (n :integer ; vara, b :integer) ; var alea :integer ; Begin alea := random (n)+1 ; writeln (alea) ; if alea>1 then begin a := a+l; b := b+alea; Truc (aleal,a,b) end; End; et le programme principal suivant :

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var n ,a,b :integer ; Begin a := l ; b := l; . write (n:); readln (n); Truc (n,a,b) ; writeln (a=,a,b=,b), End. Que fait ce programme ?Que représentent a et b ? Cet algorithme est récursif.Transformer ce programme en un programme itératif écrit en Pascal.

Partie 5. On considère lurneU n contenantnboules numérotées entre1etn. Apartir de lurneU n on e¤ectue la suite de (n) tirages décrite dans lentête du problème.Pourientier def1; :::; ng, on dénitZla variable aléatoire égal à1 i si, lors dun quelconque de ces tirages, on a obtenu la boule numéroi, égale à0sinon. (n) (n) 1. Quelleest la loi deZ n dire de la variable? QueZ? 1 2. (a)Sinest supérieur ou égal à2, et i un entier def1; :::; n1g, montrer la relation n    X 1 1 (n) (k1) P Z= 1= +P Z= 1 i i n n k=i+1 (n)  (b) Montrerpar récurrence que, pour toutndeNet pour toutidef1; :::; ng,Zsuit la loi de Bernoulli i 1 de paramètre. i n P (n) 3. QuevautZainsi? RetrouverE(X n ). i i=1 4. RetrouverE(Y n ).

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