Mathématiques II 2003 Classe Prepa PC Concours Mines-Ponts

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Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques II 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2003 sur Bankexam.fr.

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• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

A 2003 Math PC 2

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2003

´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ DEUXIEME EPREUVE Filie`rePC (Dur´eedel’e´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT, TPE-EIVP.

Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremie`re page de la copie : ´ MATHEMATIQUES2-Filie`rePC. Cet´enonc´ecomporte4pagesdetexte.

Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreur d’e´nonce´,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesqu’ilestamene´`aprendre.

Premie`repartie

SoitMtioSra´reedso’drer.3atricesr´eellescvecaotceleirmsedlsp’eCle produitcart´esienM×M. Ilest admis que cet ensemble est un espace vectoriel re´ela`l’aidedelaloiinterne,addition,etdelaloiexterne,multiplicationpar unre´el,de´finiesparlesrelationssuivantes: Lasommededeux´el´ementsdeC, (P, Q) et (R, St(eneml´´el’ste)P+R, Q+S) :

(P, Q) + (R, S) = (P+R, Q+S). Leproduitd’unr´eelλedtee´’lme´l(tneP, Qtn()tlesel’´me´eλP, λQ) deC:

λ(P, Q) = (λP, λQ).

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En plus de ces lois de composion, soit∗la loi de composition interne, ap- pele´eproduit,qui,auxdeux´ele´mentsdeC, (P, Q) et (R, S) fait correspondre l’e´l´ementdeC,(P.R, P.S+Q.R),(P.R, P.SetQ.Rsont respectivement les produits des matricesP, R,P, SetQ, R).

(P, Q)∗(R, S) = (P.R, P.S+Q.R).

L’alg`ebre(C,+, .,∗) : 1. Quelleest la dimension de l’espace vectorielC? 2.De´montrerquel’espaceCest uneRrbaegle`aiitssco-atneme´aiitunveel’´.Lre unite´decettealge`breestnot´ee. t ´ Etantdonn´el’´ele´ment(P, Q) deC,soit (P, Qt)nlede´em´’leCde´afini` t t l’aidedesmatricestranspose´esPetQdes matricesPetQdafelcoa¸iusntnave :   t tt (P, Q) =P, Q. SoitGeneml´´e(tsleossue-snmelbdeseP, Q) deCtels que : ∙la matricePsetnge´treteanim`aal1.estogonorthriceladeno´dets: t t ∙les matricesPetQrefiinelt´vn:arelatioP.Q+Q.P= 0

   3t t G= (P, Q)|(P, Q)∈C, P∈SOR, P.Q+Q.P= 0.

Le groupe G : 3.D´emontrerquelesous-ensembleGdeCest, pour la loi produit∗, un groupe.

4. SoitHele´´lmenest(sous-ensembledesP,0) du groupeGqrereu´e.Dntmo   3 Hest un sous-groupe deGisomorphe au groupeSOR.

5. SoitA´eels´delembseen-suoselemtn(sI 3 , Q) deG(I 3 est la matrice unite´).

A={(I 3 , Q)|(I 3 , Q)∈G}. Est-ce queAest un sous-groupe deG?

6.De´montrerque,pourqu’une´le´ment(P, Q) deCppatiarneen`aG, il faut etilsuffitqueled´eterminantdelamatricePsio´teraleuqte1a`lageontila t (P, Q)∗(P, Q) =eait lieu :

t (P, Q)∈G⇐⇒(P, Q)∗(P, Q) =e,detP= 1.

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Seconde partie

Le but de cette partie est de montrer qu’il existe un isomorphisme entre legroupedesde´placementsdel’espacedelage´om´etrieaffineeuclidienneetle groupeGeci´dei-´udetsuss. Dans toute la suite,E 3 arept´enrinoieidesabenunespestuuelcirleceotcave   −→−→ −→ orthonorme´edirecteB=j ,ki ,. Leproduit scalaire de deux vecteurs −→−→−→−→ xety´tontseex . y.

Unr´esultatpr´eliminaire: −→ −→ 7 . Soitaun vecteur deE 3 ; soitp a l’endomorphisme deE 3 dans lui- −→−→−→ mˆemequi,auvecteurx, associe le produit vectoriel des vecteursaetx: −→−→−→ x→−a∧xest la matrice. QuellePnoisscoa`al’i´eeicatapplpdans la −→−→ a a baseBdeE 3 ?

8. Soitrune rotation deE 3 dnaslui-mˆeme;compaprerdruovxueetcesur −→−→ quelconquesxetydeE 3 les expressions suivantes : −→−→−→−→ r(x∧y), r(x)∧r(y).

−→ 9.De´montrerque,sirest une rotation deE 3 etaun vecteur deE 3 , il −→ −→−→ existe un vecteurbdeE 3 tel que l’endomorphismer◦p a c,e´sdemoopp a et dermeisst´e,e`lage’lamodnhprop◦r´sdee,cpoomret dep: −→−→ b b

−→−→ r◦p=p◦r; a b −→ −→ exprimer ce vecteurben fonction du vecteuraet de la rotationr.

Dans toute la suite, soitEe´gae´mocapslede’el´teennoeirneeuclidietrieaffine ;Ecapsceveoitcenunidclnieritoeuelˆeteersneustpuop´snededireespaceaffi −→−→ −→ orient´eE 3 . SoitOune origine eti ,j ,ketcevsiortsc´ermnohortsouronsti- tuant avec le pointOurnpee`erOxyzdirect.

D´eterminationd’unedroite`al’aidededeuxvecteursetd’unrepe`re : L’espaceEinumtse`pernu’dctremronide´oereohtrOxyz; soitDune droite −→ de l’espace affineE,Aun point de cette droite etuun vecteur directeur unitaire de cette droite.

10. SoitMun point quelconque de la droiteDetru´D.emontrerquelevec −−→ −→−→ v ,e´agalpuuetcevsesrveitduroldieorctOMetu ,udopadtnnitestepenind´ Mde la droiteD: −−→ −→−→ v=OM∧u . −→−→ Comparer les directions des deux vecteursuetv.

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−→−→−→ 11. Soientuetvdeux vecteurs de l’espaceE 3 tels que le vecteurusoit −→−→−→−→−→ unitaire (u= 1) etvnolaa`orogthu(u . v= 0).esedid’aal,`D´eterminer −→−→−→−→ deux vecteursuetu∧v, les vecteursxdeE 3 tiuasuonelsdeq’´navietitnoosul, :

−→−→−→ x∧u=v .

−→−→ ´ 12.Etantdonne´sdeuxvecteursuetvde l’espaceE 3 tels que le vecteur −→−→−→−→−→−→ usoit unitaire (u= 1)etvlaa`gonorohtu(u . v´emo0),d=li’uqrertn existe une seule droiteDde l’espaceEtelle qu’un vecteur directeur unitaire −→ de la droiteDsoit le vecteuruet que tout pointMdeDirefive´tilarelaon suivante : −−→ −→−→ OM∧u=v . −→−→ 13. Exemple: lesvecteursuetvsid,nalsnodte´nfiserep`ereOxyz, par les relations suivantes : −→−→ −→ −→−→ u=i;v=b j+c k, o`ubetc´eeleuxrontdsonsdesn´´e.DrmterenirdaletioDcorrespondante. −→−→ SoitPle sous-ensemble deE 3 ×E 3 des couples de deux vecteurs (u ,v) −→−→ tels que le premier vecteurusoit unitaire et le secondvsoit perpendiculaire −→ a`u. ` 14.Aquelleconditionn´ecessaireetsuffisantedeuxcouplesdevecteurs −→−→−→−→ (vu ,) et (u´, v´),a`antnarteappP,ereim´dtemˆlantneitroedemD? Soitdalpe´dnucementdel’espaceEmnudirupee`erroonthm´oriredtecOxyz ;parde´finition,ileste´gala`l’applicationcompos´eed’unerotationrde l’espace −→ E 3 et d’une translation de vecteuradeE 3 ; soitMi’amegapl´acementrced´epl −−→−−→ dd’un pointM; le vecteurOMuveci´eateurlertse´OMpar la relation suivante :   −−→−−→ −→ OM´=a+r OM .

Isomorphismeentrelegroupedesde´placementsdel’espaceEet le groupe G : Soientd,und´eplacementDune droite quelconque de l’espaceEetD´l’image de la droiteDpa´eplrlednetcamed:

D´=d(D). 15. Auxdeux droitesDetDl’espace´ deErupee`erm,nudim´eorthonor −→−→ directOxyzicossatnos,ueaqsl`epr’asd´epuelseoc1nd4tsoiurs(ectesdevvu ,) −→−→−→−→ et (u´, v;)´dmenortreuq,e´(srcoleleupvedeeuctvu ,´)natee,iltfix´est −→−→−→ possible de choisir le couple de vecteurs(u´, v´oc¸afed)ceetrusqneuelvsu´ et −→−→−→ vau moyen des vecteurs´ s’exprimentuetvpar les relations suivantes :

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