Mathématiques II 2003 Classe Prepa PSI Concours Mines-Ponts

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Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques II 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2003 sur Bankexam.fr.

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• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

A 2003 Math PSI 2

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Fili`ereTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2003

´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ DEUXIEME EPREUVE Filie`rePSI (Dur´eedel’´epreuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT, TPE-EIVP.

Lescandidatssontpri´esdementionnerdefa¸conapparentesurlapremie`re page de la copie : ´ MATHEMATIQUES2-Filie`rePSI. Cete´nonc´ecomporte4pagesdetexte.

Si,aucoursdel’´epreuve,uncandidatrepe`recequiluisembleeˆtreuneerreur d’´enonc´e,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesqu’ilestamen´ea`prendre.

Premi`erepartie

SoitMtioS.3eseacrre´se’drordesmatricesr´eellapseevecrotcdleil’Cle produitcarte´sienM×M. Ilest admis que cet ensemble est un espace vectoriel re´el`al’aidedelaloiinterne,addition,etdelaloiexterne,multiplicationpar unr´eel,d´efiniesparlesrelationssuivantes: Lasommededeux´ele´mentsdeC, (P, Q) et (R, Sntme´eel’´tles)(P+R, Q+S) :

(P, Q) + (R, S) = (P+R, Q+S). Leproduitd’unr´eelλeledtle´’eme´(ntP, Q(tm)eenel’stl´´eλP, λQ) deC˜:

λ(P, Q) = (λP, λQ). En plus de ces lois de composion, soit∗la loi de composition interne, ap- pel´eeproduit,qui,auxdeuxe´l´ementsdeC, (P, Q) et (R, S) fait correspondre

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l’e´l´ementdeC,(P.R, P.S+Q.R),(P.R, P.SetQ.Rsont respectivement les produits des matricesP, SP, R,etQ, R).

(P, Q)∗(R, S) = (P.R, P.S+Q.R).

L’alg`ebre(C,+, .,∗:˜) 1. Quelleest la dimension de l’espace vectorielC? 2.De´montrerquel’espaceCest uneRe.L’´el´eunitairosictavi`gbeersala-nemet unite´decettealge`breestnote´e. t ´ Etantdonne´l’´el´ement(P, Q) deC,soit (P, Q’l)etdeneml´´eC`eafindi´ t t l’aidedesmatricestranspose´esPetQdes matricesPetQteanivsu:edalafc¸no   t tt (P, Q) =P, Q. SoitGenseous-des´mbleemtnlee´sel(sP, Q) deCtels que : ∙la matriceP.1a`lhortnagotoes:eosdne´elidertctest´egaterminan t t ∙les matricesPetQ:itnoerallantfieri´evP.Q+Q.P= 0

   3t t G= (P, Q)|(P, Q)∈C, P∈SOR, P.Q+Q.P= 0.

Le groupe G˜: 3.De´montrerquelesous-ensembleGdeCest, pour la loi produit∗, un groupe.

4. SoitHsuossne-lbmesedest(meneel´e´lP,0) du groupeGmont.D´eeuqrer   3 Hest un sous-groupe deGisomorphe au groupeSOR.

5. SoitAlesous-ntmes(´sede´leesneelbmI 3 , Q) deG(I 3 est la matrice unite´).

A={(I 3 , Q)|(I 3 , Q)∈G}. Est-ce queAest un sous-groupe deG?

6.D´emontrerque,pourqu’un´el´ement(P, Q) deCappraitneena`G, il faut etilsuffitqueled´eterminantdelamatricePio´tsitalnolaretque`a1eegal t (P, Q)∗(P, Q) =eait lieu :

t (P, Q)∈G⇐⇒(P, Q)∗(P, Q) =e,detP= 1.

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Seconde partie

Le but de cette partie est de montrer qu’il existe un isomorphisme entre legroupedesd´eplacementsdel’espacedelage´ome´trieaffineeuclidienneetle groupeG´etsu.edssce-idu´i Dans toute la suite,E 3 ceevecapsenutseenriept´unarasebirotueledilconei   −→−→ −→ orthonorme´edirecteB=j ,ki ,produit scalaire de deux vecteurs. Le −→−→−→−→ xetyt´etsonex . y.

Unr´esultatpr´eliminaire: −→ 7 . Soitaun vecteur deE 3 ; soitpl’endomorphisme deE 3 dans lui- −→ a −→−→−→ meˆmequi,auvecteurx, associe le produit vectoriel des vecteursaetx˜: −→−→−→ −→−→ x−→a∧xest la matrice. QuellePlaa’ppilacitnoase`´ecisopdans la a a baseBdeE 3 ?

8. Soitrune rotation deE 3 erpompare;comˆemsrtcuexuevruednsdai-lu −→−→ quelconquesxetydeE 3 les expressions suivantes : −→−→−→−→ r(x∧y), r(x)∧r(y).

−→ 9.De´montrerque,sirest une rotation deE 3 etaun vecteur deE 3 , il −→ −→−→ existe un vecteurbdeE 3 tel que l’endomorphismer◦p a co,osmpde´ep a et derl’endomorphisme,se´tgelaa`p◦rde´eosmpco,ret dep: −→−→ b b

−→−→ r◦p=p◦r; a b −→ −→ exprimer ce vecteurben fonction du vecteuraet de la rotationr.

Dans toute la suite, soitEtneiee´’´lmsteeaipreaceedal´goedienneorffineeucli ;Eneidilcuelitnoricededeaenffiorievectpaceunestseppusneeuacsp´eostrˆe −→−→ −→ orient´eE 3 . SoitOune origine eti ,j ,konthm´orcoestins-torsievtcuesrro tuant avec le pointOrep`unereOxyzdirect.

D´eterminationd’unedroite`al’aidededeuxvecteursetd’unrepe`re: L’espaceEedirectthonorm´pee`erronudiu’rntmesOxyz; soitDune droite −→ de l’espace affineE,Aun point de cette droite etuun vecteur directeur unitaire de cette droite.

10. SoitMun point quelconque de la droiteDeleuqrerruetcevntmo´e.D −−→ −→−→ v ,otirvtcevssceeltereudegal´oduiauprOMetu ,tniopuantdpendnd´eesti Mde la droiteD: −−→ −→−→ v=OM∧u . −→−→ Comparer les directions des deux vecteursuetv.

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−→−→−→ 11. Soientuetvdeux vecteurs de l’espaceE 3 tels que le vecteuru −→−→−→−→−→ soit unitaire (u= 1) etvartogohol`nau(u . v= 0).deaiD´eterminer,`al’ −→−→−→−→ des deux vecteursuetu∧v, les vecteursxdeE 3 nqu´eioated’loisnlotus, suivante :

−→−→−→ x∧u=v .

−→−→ ´ 12.Etantdonn´esdeuxvecteursuetvde l’espaceE 3 tels que le vecteur −→−→−→−→−→−→ usoit unitaire (uet= 1)vohort`laoganu(u . vtreremon),d´=0li’uq existe une seule droiteDde l’espaceEtelle qu’un vecteur directeur unitaire −→ de la droiteDsoit le vecteuruet que tout pointMdeD´vreralefiilenioat suivante : −−→ −→−→ OM∧u=v . −→−→ 13. Exemple: lesvecteursuetvsneler`pfiein,sadsod´ntereOxyz, par les relations suivantes : −→−→ −→ −→−→ u=i;v=b j+c k, ou`betcosdonneelsuxr´ntdes.´eetD´mierrlneordaetiDcorrespondante. −→−→ SoitPle sous-ensemble deE 3 ×E 3 des couples de deux vecteurs (u ,v) −→−→ tels que le premier vecteurusoit unitaire et le secondvsoit perpendiculaire −→ a`u. ` 14.Aquelleconditionne´cessaireetsuffisantedeuxcouplesdevecteurs −→−→−→−→ (u ,v) et (u´, v´),appaaant`rtenPe´etd,neltmrnidrmeˆeamteoiD? Soitde´dnunemecalptdel’espaceEuder`preoetrohon´ermredictmuniOxyz ;pard´efinition,ileste´gala`l’applicationcompos´eed’unerotationrde l’espace −→ E 3 et d’une translation de vecteuradeE 3 ; soitMperaec´d´’lmiganteplaceme −−→−−→ dd’un pointM; le vecteurOMeurvecttse´uae´ilerOMpar la relation suivante :   −−→−−→ −→ OM´=a+r OM .

Isomorphismeentrelegroupedesd´eplacementsdel’espaceEet le groupe G : Soientd´eplacement,dnuDune droite quelconque de l’espaceEetD´l’image de la droiteDled´parcemeeplatnd:

D´=d(D). 15. Auxdeux droitesDetD´ del’espaceEreoetrohinuder`pmu,norm´e −→−→ directOxyz’dse´icossatnos,ontiesqulaesr`apedevlpsecsuo41edrs(cteuu ,v) −→−→−→−→ et (u´, vomtnerqreul,ceuo´);d´eedplecevurtes(vu ,e´)tnate´xfist,ile −→−→−→ possible de choisir le couple de vecteurs(u´, vafed)´leuqnoc¸srseevtcueu´ et −→−→−→ vau moyen des vecteurs´ s’exprimentuetvpar les relations suivantes :

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