Mathématiques III 2004 Classe Prepa HEC (ECO) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques III 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 2004 sur Bankexam.fr.

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• 2004
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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 79
• Langue: Français

Extrait

HEC III 2004

EXERCICE ´ 1. Etuded’une suite et programmation On note (c n ) n∈N suitlaelleer´einpe´dfieuoetuotrrientnstrictement positif par : ∗ Z 1 n−1 x c n = dx 1 +x 0 a) Montrerque (c n ) n∈N fi.ssotie´detorcenutsiuse´eerspelsaisednt ∗ 1 b) Montrerque, pour tout entiernstrictement positif, l’on a :c n+1 +c n =∙ n 1 1 ´ c) Etablir,pour tout entiernitalegn´:´eag`l2al,dauolbiesup´erieurou´e62c n 6∙ n n−1 Ende´duireune´quivalentsimpledec n quandntend vers l’infini. d) Calculerc 1 et prouver, pour tout entierne:t´ilage´’l,2a`lagerieurou´sup´e  ! n−1 X k+1 (−1) n c n = (−1)−ln 2 k k=1 ´ e) Ecrireun programme en Turbo-Pascal qui, pour une valeur d’un entiernfentr´eesemetcirtitisoptn par l’utilisateur, calcule et affiche la valeur dec n . ´ 2.Etuded’unesuitedevariablesale´atoires`adensite´ Pour tout entiernstrictement positif, on notef n l’application deRdansReinfi:rape´d   0 sit <1 f n (t) = 1  sit>1 n c n t(1 +t) ` a)Al’aided’unchangementdevariable,´etablirpourtoutentiernstrictement positif et pour tout Z Z x1 n−1 1u r´eelxeiruuoe´ag`l1al,sup´erd:e´tilage´’t= du∙ n t(1 +t+) 1u 1 1/x b)End´eduireque,pourtoutentiernstrictement positif,f n .tuesabilit´ee´edrpboenedsnti

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HEC III 2004 Dans la suite de l’exercice, on suppose que (X n ) n∈N seeisse´nfiruel´ealesblsdreoiattiusenutairavede ∗ mˆemeespaceprobabilise´(Ω,A,P), telle que, pour tout entiernstrictement positif,X n prend ses valeurs dans [1,+∞[ et admetf n ocmmdesiene.t´noOnteF n ofalitcnednope´rtionartideX n . c) Pour quelles valeurs deneriotae´valaalleabriX n caso`ue?Danslepse´arcnleelnuee-temda l’esp´erancedeX n ondenctineofnaec´preetselecuetrcteisal,cxec n et dec n−1 . d) Danscette question, exclusivement, on suppose quensege´ta`larP.1´eciserlafonctionF 1 . 1 End´eduirel’ensembledesr´eelsyfiire´vtnaP([X 1 6y])>∙ 2 D´eterminerunedensite´delavariableale´atoireZ= ln(X 1 ). e) Soitx.1a`reeslrtcinu´rup´erieutrements Z 1 n u1 Justifier l’encadrement :06du6∙ 2 (1 +u)n+ 1 1/x  ! Z 1 n u End´eduirelalimitesuivante:limdu. 2 (1 +u) n→+∞ 1/x Transformer, pour tout entier naturelnnon nul,F n (xtrapeseitnteigr´eioatarnp)a`’liaed’dnu ende´duirel’´egalite´suivante:limF n (x) = 1 . n→+∞ f) Quevaut limF n (x) sixessrivaleabiusaedetrertleuql`a1?Monurou´egani´freeiutrne´le n→+∞ al´eatoires(X n ) n∈N ablevari’onpquelsire´rce.anvcoolneegreenusrevi ∗

` PROBLEME Dansceprobl`eme,ntiernaturelnonnueltse´denginenuE´dsegien’lsesedleirotcevecap`aesomnˆlypo coefficientsre´els,dedegre´inf´erieuroue´gala`2n. k k Pour tout entier naturel non nulk, on noteXomelepolynˆx7→xet on rappelle que la famille 2n (1, X, . . . , X) est une base deE. 2n X k Sia 0 , a 1 , . . . , a 2n sont 2neels+1r´teQˆnmoopyltseleurisfin´eedRpar :Q(x) =a k x, 2n X k=0 k onde´finitlepolynoˆmes(Q) par :s(Q)(x) =a 2n−k x. k=0 Autrement dit,s(Q)nu`aobteirdepartltpeseoˆemlonyQen✭inversant l’ordre des coefficients✮. 4 3 24 2 Par exemple, sin`lagaee´ts2et siQ(x) = 4x+ 7x+ 2x+ 1, on obtients(Q)(x) =x+ 2x+ 7x+ 4. Lestroispartiesdeceprobl`emesontlargementinde´pendantes.

PARTIE A 1.Lin´earit´edes Montrer que l’applications:Q7→s(Qaenutse)itacilppean´lioneedirE-iˆmsnuldame.e 2. Diagonalisationdans un cas particulier   0 0 1   a)Onconside`relamatricecarr´eed’ordre3:M 1 0 . = 0 1 0 0 Justifier sans calcul que la matriceMe´D.mretsilaelbadistonagesdeopreelvsniresrrplaueMet, pourchacuned’entreelles,donnerunebasedusous-espacepropreassoci´e. b)Ve´rifierque,danslecasparticuliern= 1,Miren´eaedictrmalasteilnoitacilppa’lesdans la 2 base (1, X, X). Donner alors une base de vecteurs propres pours.

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HEC III 2004

3.Etudeducasge´n´eral Onde´finitlafamilledepolynˆomes(A 0 , ...., A 2n ) par :  2n−k k  A k (x) =x+xsi 06k6n−1 n pourtoutr´eelx,A n (x) =x  k2n−k A k (x) =x−xsin+ 16k62n a)De´terminerl’endomorphismes◦s. b) SoitPynuonlpmeˆonnnoetulλrnulee´re´vnafiits(P) =λP. Calculers◦s(Pe)etdne´uddserporpeleueeqirrseualsvstrappaent`ienna{1,−1}. c)De´terminers(A k ) pour tout entierknt0rifiav´e6k62n. d) Montrerque la famille (A 0 , ...., A 2n ) est libre. e)End´eduirequel’endomorphismeseidtsleabr´,ponagisalerseeciseurssvaleresrppomineltdaonsi de chacun de ses sous-espaces propres.

PARTIE B 1.Pre´liminaires Ond´efinitunesuite(R k ) k∈N pednyl:oreampoˆs ∗ 2 pourtoutre´elx,R 1 (x) =x,R 2 (x) =x−2 et pour tout entierkrieuup´es,2a`´uorlageR k+1 (x) =xR k (x)−R k−1 (x) a)D´eterminerlespolynoˆmesR 3 etR 4 . b) Montrerque, pour tout entierkstrictement positif,R k seutnyoˆpnlodemegrde´ektnafiruopvri´e   1 1 k toutre´elxtie´:nonnul,l’´egalR k x+ =x+∙ k x x c)Pourtoutr´eelasrleel´es’s,reslitsix,tne,d´eterminexnoulnnionselatnte:uiva´vreqsiultrafiine 1 x+ =a. x ´ 2.Etudedesracinesdespolynˆomesvecteurspropresdessaosice´erpeuprroals`alav1 2n X k Dans cette question,Qrge´ededoˆemlonyeunpsignd´e2nr:paniefid´Q(x) =a k x, tel quea 2n soit k=0 non nul et tel que, pour tout entierkde l’intervalle[0, n]], l’on ait :a k =a 2n−k . n X e e Onde´finitalorslepolynoˆmeQpar :Q(x) =a n +a n−k R k (x). k=1 a)V´erifierque0n’estpasracinedeQ. 1 b) Soitxunr´:,lnoopeseenlnouny=x+∙ x Q(x) e Montrer queest nul si et seulement siQ(y) est nul. n x Quelestl’int´ereˆtdecer´esultatdanslarecherchedesracinesdeQ? c) Onsuppose quentquese´tgelaa`e3Q:restd´efinipa 6 54 3 2 Q(x) =x+x−9x+ 2x−9x+x+ 1. D´eterminerlesracinesdeQ.

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