Mathématiques spécifique 2003 Concours National DEUG

Description

Concours du Supérieur Concours National DEUG. Sujet de Mathématiques spécifique 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques spécifique 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2003

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 08 mars 2007
• Nombre de lectures: 255
• Langue: Français

Extrait

SESSION 2003 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique MATHEMATIQUES PARTIE II Durée : 2 heures Les calculatricessont autorisées. NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. n p Nombres et polynômes de Bernoulli, applications au calcul de (2 ) et ∑ k . k=1 Notations +∞ 1 ∑ x On pose pour tout réel x>1 ,ζ(x)=. n=1 n ! [ X ] est la ! algèbre des polynômes à coefficients réels. ! n [ X ] est le!espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n. Objectifs Le but du problème est de calculer les valeurs de(2k) oùkest un entier non nul (paragraphe II) n p ainsi que les sommeskoùpetnsont des entiers naturels non nuls (paragraphe III). ∑ k=1 Pour cela, on utilisera les polynômes et nombres de Bernoulli étudiés dans le paragraphe I. Les formules à établir au paragraphe I peuvent être utilisées sans démonstration aux paragraphes II et III. Les paragraphes II et III sont indépendants. Tournez la page S.V.P.

2

I – Polynômes et nombres de Bernoulli On dit qu’une suite(B) de! [ X ]  estune suite de polynômes de Bernoulli si elle vérifie les n propriétés suivantes notées (P) : 1 =∈ = ∀ ≥ { B 0 1 , n" :B' n+1 B n et n2 : B n (1)=B n (0) } (P 1 ) 1.  Soit(Bsuite de polynômes de Bernoulli.) une n 2 1X X1 = a. Montrer que nécessairementB(X)=X−etB 2 (X)− +. 1 2 22 12 b.  DéterminerB 3 etB. 4 2.  Lebut de cette question est de montrer qu’il existe une et une seule suite de polynômes qui vérifie les propriétés(P). 1 a. SiPest un polynôme de ! [ X ] , montrer qu’il existe un et un seul polynômeQde ! X ] tel que : 1 Q'=P etQ(t) dt =0 . ∫ 0  Onnote alors L l’application de ! [ X ] vers ! X ] qui à P associe Q . b. Montrer qu’une suite de polynômes( )vérifie(P) siet seulement si elle vérifie la n1 propriété suivante notée(P): 2 B1 etBB L )} { 0 =n∈ " , n+n (P) 1 2 c. En déduire qu’il existe une unique suite de polynômes vérifiant les propriétés (P 1 ) .  Onnotera cette suite( )et on l’appelleralasuite de polynômes de Bernoulli. n n − 3.  Déduirede la question 2 . , que pour tout entier natureln, n (X)=(−1)B n (1X) . = 4.  Onpose, pour toutn,b n B n (0) ;b n est le(n+nombre de Bernoulli.1) ième a. Calculerb,b,b,b,b. 0 1 2 3 4 b. Montrer que pour tout entier impair n≥3 ,b=0 . n II – Application au calcul de(2k) Soitkun entier naturel non nul. On définit l’applicationgde!vers!par : k x g(x)=B( )pour x∈ [ 0, 2π [ etgest périodique de période 2π . k2k k 2π 1 5. on pose Siα(k)=B(t) dt ∫ 0 0 2k 1 1 et pour n≥1 , α (k) = 2B(t) cos(2 π n t) dtet β (k) = 2B(t) sin(2 π n t) dt ∫ 0 ∫ 0 n2k n2k

3

+∞ montrer que pour tout réelxon a :g(x)= α(k)+ ( α(k) cos(n x)+ β(k) sin(n x) ) . ∑ k0n n n=1 6. Calculerα(k) . 0 2 7. a. Montrer que pour toutn≥1, α(1)= . n 2 ( 2πn ) −1 α =α − b. Montrer que pour tout n≥1 et tout k≥2 , n (k) 2 n (k1) . ( 2πn ) c. déduire pour tout En n≥1 et tout k≥2 , la valeur deα n (k) . 8. Montrer sans calcul que pour tout n≥1 et tout k≥1 , β (k) = 0 . n 9. a. Déterminer, pour k≥1 (2, une relation entrek) etb 2k . +∞ +∞ 1 1 b. Calculer et. ∑ 2 ∑ 4 n=1 n n=1 n n p III – Application au calcul dek ∑ k=1 10. Soitpun entier naturel, on définit l’application ∆ de ! [ X ] vers ! [ X ] par : p+1p+1 ∆(P)=P(X+1)P(X) . a. Montrer que∆est un endomorphisme de! p+1 [ X ] . b. Déterminer Ker∆. c. Montrer que I! p [ X ] . ∆ = 11. En d! p+1 tel éduire que pour tout entier naturelp, il existe un et un seul polynômeQdeX ] p 1 X que :∆(Q)=etQ(t) dt =0 . ∫ 0 p! 12. Montrer que ce polynômeQest en faitB. p+1 n p 13. En déduire que pour tout entier p ≥tout entier1 et n≥1 ,=! ( ( 1) ) . ∑ Bk p p+1 n + − b p+1 k=1 n n 2 3 14. Calculerketk. ∑ ∑ k=1k=1 Fin de l’énoncé.